Hệ thức lượng trong tam giác

Bạn đang xem: Hệ thức lượng trong tam giác Tại Trường Trung cấp, Cao đẳng, Đại học Xây dựng tại TPHCM – Sài Gòn

phương trình của tam giác

a. lý thuyết

i. ký hiệu chung

• a, b, c: là các góc của các đỉnh a, b, c
• a, b, c: là độ dài của các cạnh đối diện với các đỉnh a, b, c
• ha, hb, hc: là độ dài của các độ cao đi xuống từ các đỉnh a, b, c
• ma, mb, mc: là độ dài của các trung tuyến đi xuống từ các đỉnh a, b, c
• la, lb, lc: là độ dài của các đường phân giác giảm dần từ các đỉnh a, b, c
• r: là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tiếp tuyến với tam giác abc
• r: là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác abc
• p = [ frac {1} {2} ] (a + b + c): là nửa chu vi tam giác abc
• s: là diện tích tam giác abc

ii. hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông abc, gọi b ‘, c’ là độ dài của các hình chiếu của góc vuông với cạnh huyền, ta có các quan hệ sau:

iii. các tỉ số lượng giác trong một tam giác thường

1. định lý hàm cosine

trong tam giác abc, chúng ta luôn có:

Chú ý: Trong một tam giác bình phương mỗi cạnh bang tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với cosin của góc xem giữa chúng

hệ quả: trong tam giác abc, chúng ta luôn có:

[ cos a = frac {{{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} – {{a} ^ {2}}} {2bc} ], [ cos b = frac {{{a} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} – {{b} ^ {2}}} {2ac} ], [ cos c = phân số {{{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} – {{c} ^ {2}}} {2ab} ]

2. định lý hàm sin

trong tam giác abc chúng ta có:

[ frac {a} { sin a} = frac {b} { sin b} = frac {c} { sin c} = 2r ]

hệ quả: với tất cả các tam giác abc, chúng ta có:

lưu ý: trong một tam giác, tỉ số giữa một cạnh của tam giác với sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

3. định lý trung bình

trong tam giác abc chúng ta có:

4. định lý diện tích tam giác

Diện tích của tam giác abc được tính theo các công thức sau:

5. Định lý đường phân giác

[{{l} _ {a}} = frac {2bc. cos frac {a} {2}} {b + c}; {{l} _ {b}} = frac { 2ac. Cos frac {b} {2}} {a + c}; {{l} _ {c}} = frac {2ab cos frac {c} {2}} {a + b} ]

b. bài tập minh họa

câu 1: cho tam giác abc. đặt $ {{l} _ {a}}, {{l} _ {b}}, {{l} _ {c}} $ lần lượt là độ dài của các đường phân giác góc a, b, c. hãy thử điều đó.

a. $ {{l} _ {a}} = frac {2bc} {b + c} cos frac {a} {2} $

b. $ frac { cos frac {a} {2}} {{{l} _ {a}}} + frac { cos frac {b} {2}} {{{l} _ {b} }} + frac { cos frac {c} {2}} {{{l} _ {c}}} = frac {1} {a} + frac {1} {b} + frac { 1} {c} $

c. $ frac {1} {{{l} _ {a}}} + frac {1} {{{l} _ {b}}} + frac {1} {{{l} _ {c}} }> frac {1} {a} + frac {1} {b} + frac {1} {c} $

người chiến thắng

a. trước tiên hãy kiểm tra công việc $ sin alpha = 2 sin frac { alpha} {2} cos frac { alpha} {2} $

sử dụng tam giác cân ở đỉnh a với $ widehat {a} = 2 alpha $ thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.

$ {{s} _ { delta abc}} = frac {1} {2} bc sin a $, $ {{s} _ { delta Abd}} = frac {1} {2 } c {{l} _ {a}} sin frac {a} {2} $, $ {{s} _ { delta acd}} = frac {1} {2} b {{l} _ {a}} sin frac {a} {2} $

rằng $ {{s} _ { delta abc}} = {{s} _ { delta Abd}} + {{s} _ { delta acd}} rightarrow {{l} _ {a} } = frac {2bc} {b + c} cos frac {a} {2} $

b. $ frac { cos frac {a} {2}} {{{l} _ {a}}} = frac {1} {2} left ( frac {b + c} {bc} right ) = frac {1} {2b} + frac {1} {2c} $

tương tự như $ frac { cos frac {b} {2}} {{{l} _ {b}}} = frac {1} {2a} + frac {1} {2c}, frac { cos frac {c} {2}} {{l} _ {c}}} = frac {1} {2a} + frac {1} {2b} $

$ rightarrow frac { cos frac {a} {2}} {{l} _ {a}}} + frac { cos frac {b} {2}} {{{l } _ {b}}} + frac { cos frac {c} {2}} {{{l} _ {c}}} = frac {1} {a} + frac {1} {b } + frac {1} {c} $

c. chúng ta có $ frac { cos frac {a} {2}} {{{l} _ {a}}} + frac { cos frac {b} {2}} {{{l} _ { b}}} + frac { cos frac {c} {2}} {{{l} _ {c}}} & lt; frac {1} {{{l} _ {a}}} + phân số {1} {{{l} _ {b}}} + frac {1} {{{l} _ {c}}} $

$ rightarrow frac {1} {{{l} _ {a}}} + frac {1} {{{l} _ {b}}} + frac {1} {{{l} c}}> frac {1} {a} + frac {1} {b} + frac {1} {c} $

câu 2 cho tam giác abc. đặt $ {{m} _ {a}}, {{m} _ {b}}, {{m} _ {c}} $ lần lượt là độ dài của các trung tuyến đi qua a, b, c, $ m = frac {{{m} _ {a}} + {{m} _ {b}} + {{m} _ {c}}} {2} $. chứng minh rằng

Xem thêm: Công Thức Tính Tiết Diện Dây Dẫn Và Bảng Tra Tiết Diện Dây Dẫn Điện 1 Pha, 3 Pha

$ {{s} _ { delta abc}} = frac {3} {4} sqrt {m left (m – {{m} _ {a}} right) left (m- {{m} _ {b}} right) left (m – {{m} _ {c}} right)} $

người chiến thắng

gọi d là điểm đối xứng của một bước

trọng tâm g. chúng ta có tứ giác gbdc là một hình bình hành

hiển thị $ {{s} _ { delta gbd}} = {{s} _ { delta gbc}} = {{s} _ { delta agb}} = {{s} _ { delta agc }} = frac {1} {3} {{s} _ { delta abc}} $

rằng $ delta gbd $ có ba cạnh $ frac {2} {3} {{m} _ {a}}, frac {2} {3} {{m} _ {b}}, phân số {2} {3} {{m} _ {c}} $

$ rightarrow {{s} _ { delta gbd}} = {{ left ( frac {2} {3} right)} ^ {2}} sqrt {m left (m- { {m} _ {a}} right) left (m – {{m} _ {b}} right) left (m – {{m} _ {c}} right)} $

$ rightarrow {{s} _ { delta abc}} = 3 {{s} _ { delta gbd}} = frac {3} {4} sqrt {m left (m – {{ m} _ {a}} right) left (m – {{m} _ {b}} right) left (m – {{m} _ {c}} right)} $

Câu 3 cho tứ giác abcd nội tiếp đường tròn với ab = a, bc = b, cd = c, da = d. chứng minh rằng $ {{s} _ { square abcd}} = sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d)} $

với $ p = frac {a + b + c + d} {2} $

người chiến thắng

vì nó được viết abcd

Xem Thêm : Tìm hiểu công thức của axit thường gặp nhất

$ sin widehat {abc} = sin widehat {adc} $

$ cos widehat {abc} = – cos widehat {adc} $

$ {{s} _ {abcd}} = {{s} _ {abc}} + {{s} _ {adc}} = frac {1} {2} left (ab + cd right ) không có b $

$ = frac {1} {2} left (ab + cd right) sqrt {1 – {{ cos} ^ {2}} b} $

trong tam giác $ abc $ có $ a {{c} ^ {2}} = {{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} – 2ab cos b $

trong tam giác $ adc $ có $ a {{c} ^ {2}} = {{c} ^ {2}} + {{d} ^ {2}} – 2cd cos d $

Câu 4: Cho tam giác abc có ba cạnh a, b, c chứng minh rằng

$ frac {{{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2}}} {2abc} = frac { cos a} {a } + frac { cos b} {b} + frac { cos c} {c} $

người chiến thắng

chúng tôi có

$ leftrightarrow {{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} = 2ac cos b + 2bc cos a + 2ab cos c $

$ leftrightarrow frac {{{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2}}} {2abc} = frac { cos a} {a} + frac { cos b} {b} + frac { cos c} {c} $

Câu 5: chứng minh rằng với mỗi tam giác abc ta có

a. $ cot a + cot b + cot c = frac {{{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2}}} {abc} r $

b. $ sin frac {a} {2} = sqrt { frac {(p-b) (p-c)} {bc}} $

.

người chiến thắng

a. sử dụng luật sin và cosin.

b. là tâm của vòng tròn sau

chúng tôi có

của hình ảnh:

trong tổng số (1) và (2) $ frac {{{ left ({{s} _ { delta abc}} right)} ^ {2}}} {p} = (p-a) tan frac {a} {2} bc sin frac {a} {2} text {.cos} frac {a} {2} text {} $

$ leftrightarrow frac {p (p-a) (p-b) (p-c)} {p} = bc (p-a) sin frac {a} {2} $

$ rightarrow sin frac {a} {2} = sqrt { frac {(p-b) (p-c)} {bc}} $

câu 6: tính chất của tam giác abc là gì khi $ {{s} _ { delta abc}} = frac {1} {4} left (a + b-c right ) left (a + c-b right) $

người chiến thắng

theo độ dài của nó $ {{s} _ { delta abc}} = sqrt { left ( frac {a + b + c} {2} right) left ( frac {a + b-c } {2} right) left ( frac {a-b + c} {2} right) left ( frac {-a + b + c} {2} right)} $

$ rightarrow {{ left (a + b-c right)} ^ {2}} {{ left (a + c-b right)} ^ {2}} = left (a + b + c phải) left (a + b-c right) left (a-b + c right) left (-a + b + c right) $

Xem thêm: Ebitda là gì? Cách tính, Ứng dụng và 4 lưu ý khi sử dụng

$ rightarrow left (a + b-c right) left (a + c-b right) = left (a + b + c right) left (-a + b + c right) leftrightarrow {{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} = {{a} ^ {2}} $ tam giác abc tạo thành một góc vuông tại a

câu 7: cho tam giác abc. Gọi r, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác. chứng minh rằng: $ frac {r} {r} le frac {1} {2} $

người chiến thắng

chúng tôi có

rằng $ sqrt {(p-a) (p-b)} le frac {2p-a-b} {2} = frac {c} {2} $

$ sqrt {(p-a) (p-c)} le frac {2p-a-c} {2} = frac {b} {2} $

$ sqrt {(p-b) (p-c)} le frac {2p-b-c} {2} = frac {a} {2} $

câu 8: cho tam giác abc. chứng minh rằng

a. $ frac {{{ cos} ^ {2}} a + {{ cos} ^ {2}} b} {{{ sin} ^ {2}} a + {{ sin} ^ {2}} b } le frac {1} {2} left ({{ cot} ^ {2}} a + {{ cot} ^ {2}} b right) $

b. $ 3s ge 2 {{r} ^ {2}} left ({{ sin} ^ {3}} a + {{ sin} ^ {3}} b + {{ sin} ^ {3}} c right) $

c. $ sqrt {p} & lt; sqrt {p-a} + sqrt {p-b} + sqrt {p-c} le sqrt {3p} $

d. $ {{s} ^ {2}} le frac {1} {16} left ({{a} ^ {4}} + {{b} ^ {4}} + {{c} ^ {4 }} right) $

người chiến thắng

a. btt $ leftrightarrow frac {2-si {{n} ^ {2}} a + {{ sin} ^ {2}} b} {{{ sin} ^ {2}} a + {{ sin} ^ {2}} b} le frac {1} {2} left ( frac {1} {{{ sin} ^ {2}} a} + frac {1} {{{ sin} ^ {2}} b} right) -1 $

$ leftrightarrow frac {2} {{{ sin} ^ {2}} a + {{ sin} ^ {2}} b} le frac {1} {2} left ( frac {1} {{{ sin} ^ {2}} a} + frac {1} {{{ sin} ^ {2}} b} right) $

$ leftrightarrow 4 le left ( frac {1} {{{ sin} ^ {2}} a} + frac {1} {{{ sin} ^ {2}} b} phải) trái ({{ sin} ^ {2}} a + {{ sin} ^ {2}} b phải) $

b. $ 3s ge 2 {{r} ^ {2}} left ({{ sin} ^ {3}} a + {{ sin} ^ {3}} b + {{ sin} ^ {3}} c right) $

$ leftrightarrow frac {3abc} {4r} le 2 {{r} ^ {2}} left ( frac {{{a} ^ {3}}} {8 {{r} ^ { 3}}} + frac {{{b} ^ {3}}} {8 {{r} ^ {3}}} + frac {{{c} ^ {3}}} {8 {{r} 3}}} right) $ $ leftrightarrow 3abc le {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} + {{c} ^ {3}} $

c. từ $ {{ left (x + y + z right)} ^ {2}} = {{x} ^ {2}} + {{y} ^ {2}} + {{z} ^ {2} } + 2xy + 2yz + 2zx $

$ rightarrow {{ left (x + y + z right)} ^ {2}}> {{x} ^ {2}} + {{y} ^ {2}} + {{z} ^ {2}} $

do đó x, y, z dương nên $ x + y + z & gt; sqrt {{{x} ^ {2}} + {{y} ^ {2}} + {{z} ^ {2} }} $ áp dụng cho cm

+ $ sqrt {p-a} + sqrt {p-b} + sqrt {p-c}> sqrt {p-a + p-b + p-c} = sqrt {p} $

+ $ {{ left ( sqrt {p-a} + sqrt {p-b} + sqrt {p-c} right)} ^ {2}} le 3 left (p-a + p-b + p-c right) = 3p $

d.

$ = frac {1} {16} left [{{(b + c)} ^ {2}} – {{a} ^ {2}} right] left [{{a} ^ {2}} – {{(b-c)} ^ {2}} right] le frac {1} {16} left [{{(b + c)} ^ {2}} – {{a} 2}} right] {{a} ^ {2}} $

$ = frac {1} {16} left ({{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} + 2bc – {{a} ^ {2}} right) {{a} ^ {2}} le frac {1} {16} left (2 {{b} ^ {2}} + 2 {{c} ^ {2}} – {{a} ^ { 2}} right) {{a} ^ {2}} $

$ = frac {1} {16} left (2 {{b} ^ {2}} {{a} ^ {2}} + 2 {{c} ^ {2}} {{a} 2}} – {{a} ^ {2}} right) le frac {1} {16} ({{a} ^ {4}} + {{b} ^ {4}} + {{c } ^ {4}}) $

câu 9: cho tam giác abc. chứng minh rằng $ {{s} _ { delta abc}} = frac {1} {4} left ({{a} ^ {2}} sin 2b + {{b} ^ {2}} sin 2b right) $

người chiến thắng

Xem Thêm : ColosBaby của VitaDairy là ‘thương hiệu số 1 sữa công thức bổ sung sữa non’ – VnExpress Kinh doanh

dựng một tam giác đối xứng abc ‘xung quanh abc qua ab

xem xét các trường hợp + b là góc nhọn hoặc góc vuông,

+ b là góc tù

người chiến thắng

$ {{ left (a + b + c right)} ^ {2}} le 3 ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} + {{c )} ^ {2}}) $

$ rightarrow {{ left (a + b + c right)} ^ {4}} le 9 {{ left ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2 }} + {{c} ^ {2}} right)} ^ {2}} = 9 {{ left ( sqrt {a} sqrt {{{a} ^ {3}}} sqrt {b } sqrt {{{b} ^ {3}}} sqrt {c} sqrt {{{c} ^ {3}}} right)} ^ {2}} $

$ le left (a + b + c right) left ({{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} + {{c} ^ {3}} phải) $

$ rightarrow {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} + {{c} ^ {3}} ge frac {{{ left (a + b + c right)} ^ {4}}} {9 left (a + b + c right)} = frac {1} {9} {{(a + b + c)} ^ {3}} = frac {8} {9} {{p} ^ {3}} $ khi tam giác đều

câu 10: cho tam giác abc. chứng minh rằng $ frac {1} {{{a} ^ {2}}} + frac {1} {{{b} ^ {2}}} + frac {1} {{{c} ^ {2 }}} le frac {1} {4 {{r} ^ {2}}} $

người chiến thắng

$ {{a} ^ {2}} ge {{a} ^ {2}} – {{(b-c)} ^ {2}} rightarrow frac {1} {{{a} ^ { 2}}} le frac {1} {{{a} ^ {2}} – {{(b-c)} ^ {2}}} $

tương tự $ frac {1} {{{b} ^ {2}}} le frac {1} {{{b} ^ {2}} – {{(c-a)} ^ {2}} }, frac {1} {{{c} ^ {2}}} le frac {1} {{{c} ^ {2}} – {{(a-b)} ^ {2}}} $

rồi đến $ frac {1} {{{a} ^ {2}}} + frac {1} {{{b} ^ {2}}} + frac {1} {{{c} ^ {2}}} le frac {1} {{{a} ^ {2}} – {{(b-c)} ^ {2}}} + frac {1} {{{b} ^ {2} } – {{(c-a)} ^ {2}}} + frac {1} {{{c} ^ {2}} – {{(a-b)} ^ {2}}} $

$ = frac {1} { left (a-b + c right) left (a + b-c right)} + frac {1} { left (b-c + a right) left (b + c-a right)} + frac {1} { left (c-a + b right) left (c + a-b right)} $

Xem thêm: Công thức kem trộn trắng da Tuyết Lan siêu hot (Chi tiết) – Cẩm Nang Bếp Blog

$ = frac {1} {4 left (p-b right) left (p-c right)} + frac {1} {4 left (p-c right) left (p-a right)} + frac {1} {4 left (p-a right) left (p-b right)} $

$ = frac {p} {4 (p-a) left (p-b right) left (p-c right)} = frac {{{p} ^ {2}}} {4p (p-a) left (p-b right) left (p-c right)} = frac {{{p} ^ {2}}} {4 {{s} ^ {2}}} = frac {1} {4 {{ r} ^ {2}}} $

c. bài tập tự học

Câu 1 : for [ overrightarrow {a} ] = (2; -3) và [ overrightarrow {b} ] = (5; m). giá trị của m để [ overrightarrow {a} ] và [ overrightarrow {b} ] ở cùng một hướng là

a. – 6 b. [- frac {13} {2} ] c. – 12 ngày. [- frac {15} {2} ]

Câu 2 : Hai thuyền cùng xuất phát từ vị trí a, đi thẳng theo hai hướng hợp với nhau một góc 600. tàu thứ nhất chạy với vận tốc 30 km / h, tàu thứ hai chạy với vận tốc 40 km / h. Hai đoàn tàu cách nhau bao nhiêu km sau 2 giờ?

a. 13b. 15 [ căn bậc hai {13} ] c. 10 [ căn bậc hai {13} ] d. 15

câu 3 : cho tam giác abc. bình đẳng nào là sai

a. sin (a + b – 2c) = sin 3c b. [ cos frac {b + c} {2} = sin frac {a} {2} ]

c. sin (a + b) = sinc d. [ cos frac {a + b + 2c} {2} = sin frac {c} {2} ]

câu 4 : cho tam giác abc có ab = 2 cm, bc = 3 cm, ca = 5 cm. [ overrightarrow {ca}. overrightarrow {cb} ] là:

a. 13b. 15ch 17 lại. một kết quả khác.

Câu 5 : Cho hình chữ nhật abcd có ab = 3, bc = 4. độ dài của vectơ [ overrightarrow {ac} ] là

a. 5b. 6 C 7 lại. 9

Câu 6: cho tam giác đều abc cạnh a. độ dài của [ overrightarrow {ab} + overrightarrow {ac} ] là:

a. a [ căn bậc hai {3} ] b. a [ frac { sqrt {3}} {3} ] c.a [ sqrt {6} ] d.2a [ sqrt {3} ]

câu 7: cho tam giác đều cạnh a. độ dài của [ overrightarrow {ab} – overrightarrow {ac} ] là

a. [ frac { sqrt {3}} {4} ] b. một C. a [ frac { sqrt {2}} {3} ] d. [ frac {a} {4} ]

câu 8: cho ba điểm cho (1; 3); b (-1, 2) c (-2, 1). tọa độ của vectơ [ overrightarrow {ab} – overrightarrow {ac} ] là

a. (-5; -3) b. (1; 1) c. (-1; 2) d. (4; 0)

Câu 9 : cho ba điểm là (1,2), b (-1; 1), c (5; -1). cosin của góc ( [ overrightarrow {ab}; overrightarrow {ac} ]) bằng giá trị nào sau đây.

a.- [ frac {1} {2} ] b. [ frac { sqrt {3}} {2} ] c. – [ frac {2} {5} ] d. [- frac { sqrt {5}} {5} ]

Câu 10 : Cho ba điểm a (-1; 2), b (2; 0), c (3; 4). trực tâm h của tam giác abc là

a. (4; 1) b. ( [ frac {9} {7}; frac {10} {7}) ] c. ( [ frac {4} {3}; 2) ] d). (2; 3)

câu trả lời cho các bài tập tự luyện tập

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

d

c

c

d

a

a

b

b

d

b

bài viết được đề xuất: