Phương trình logarit, bất phương trình logarit và bài tập áp dụng – Toán 12

Để giải được bất phương trình và bất phương trình lôgarit các bạn cần nắm vững kiến ​​thức về hàm số lôgarit mà chúng tôi đã ôn tập ở bài trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm số lôgarit bạn có thể xem lại tại đây .

»đừng bỏ lỡ: tổng hợp các công thức toán 12 ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia

i. phương trình và phương trình lôgarit

1. phương trình logarit cơ bản

+ phương trình logax = b (0 & lt; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b

2. bất đẳng thức logarit cơ bản

+ xem xét các bất đẳng thức logax & gt; b:

– nếu a & gt; 1 thì logax & gt; b⇔x> ab

– nếu 0 & lt; a & lt; 1 thì logax & gt; b ⇔ 0 & lt; x & lt; ab

ii. phương pháp giải phương trình, phương trình lôgarit

1. giải phương trình logarit, bất phương trình logarit bằng cùng phương pháp cơ số

logaf (x) = logag (x) ⇔ f (x) = g (x)

logaf (x) = b ⇔ f (x) = ab

+ lưu ý: đối với pts và bpts logarit, chúng ta cần đặt điều kiện để biểu thức logaf (x) là có nghĩa, tức là f (x) ≥ 0.

2. giải phương trình bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ đối với các phương trình, bất kỳ logarit nào có thể được biểu thị dưới dạng logaf (x), chúng ta có thể sử dụng đơn vị con t = logaf (x).

+ ngoài việc đặt điều kiện cho biểu thức logaf (x) có nghĩa là f (x) & gt; 0, ta phải quan tâm đến đặc điểm của pt logarit, bpt đang xét (có chứa căn hay không, có ẩn trong mẫu hay không) thì ta phải đặt điều kiện để các pt, bpt này có nghĩa.

3. giải phương trình, logarit thực bằng phương pháp hàm mũ

+ đôi khi chúng ta không thể giải một phương trình, bất kể logarit bằng cách quay lại cùng một cơ số hoặc sử dụng phím trợ giúp, vì vậy chúng ta có thể đặt x = thành pt, bpt cơ bản (phương pháp này được gọi là hàm mũ)

+ mã định danh: loại pt này thường chứa nhiều cơ sở khác nhau

ii. bài tập về phương trình logarit và bất phương trình logarit

* giải pt logarit, bpt bằng cùng một phương pháp cơ số

bài tập 1: giải các phương trình sau

a) log3 (2x + 1) = log35

b) log2 (x + 3) = log2 (2×2-x-1)

Xem thêm: Top 10 sữa cho bé 1 tuổi tăng cân, tăng chiều cao hiệu quả nhất

c) log5 (x-1) = 2

d) log2 (x-5) + log2 (x + 2) = 3

* giải pháp:

a) thống nhất: 2x + 1 & gt; 0 ⇔ x> (- 1/2)

pt ⇔ 2x + 1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thành công)

b) đơn vị: x + 3 & gt; 0, 2×2 – x-1 & gt; 0, chúng tôi nhận được: x & gt; 1 hoặc (-3) & lt; x & lt; (- 1/2)

ta có: log2 (x + 3) = log2 (2×2-x-1) ⇔ x + 3 = 2×2 – x – 1 ⇔ 2×2 – 2x – 4 = 0

⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 (khớp) hoặc x = 2 (khớp)

c) đơn vị: x – 1 & gt; 0⇔x> 1

Xem Thêm : Biện luận công thức muối amoni hữu cơ đầy đủ chi tiết – O₂ Education

chúng ta có: log5 (x-1) = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 (thành công)

d) đơn vị: x-5 & gt; 0 và x + 2 & gt; 0 ta được: x & gt; 5

ta có: log2 (x-5) + log2 (x + 2) = 3 ⇔ log2 (x-5) (x + 2) = 3 ⇔ (x-5) (x + 2) = 23

p>

⇔ x2 – 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (khớp)

* giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

bài tập 2: giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)

e) 1 + log2 (x-1) = log (x-1) 4

* giải pháp:

a) địa chỉ: x> 0

chúng ta đặt t = log3x thì pt ⇔ t2 + 2t – 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -3

với t = 1 log3x = 1 x = 3

với t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27

b) Cờ 4log9x + logx3 – 3 = 0: 0 & lt; x ≠ 1

Xem thêm: 1.Tổng hợp và phân tích lực điều kiện cân bằng của chất điểm

pt 2log3x + 1 / log3x -3 = 0

đặt t = log3x thì pt ⇔ 2t + 1 / t – 3 = 0 ⇔ 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2

với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3 (thành công)

với t = 1/2 ⇔ log3x = 1/2 ⇔ x = √3 (thành công)

c) định nghĩa: log3x có nghĩa là ⇔ x & gt; 0

mẫu số của phân số phải khác không: (5 + log3x) ≠ 0 và (1 + log3x) ≠ 0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1

chúng tôi đặt t = log3x (t ≠ -1, t ≠ -5) sau đó:

⇔ (1 + t) +2 (5 + t) = (1 + t) (5 + t) ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t – 6 = 0

⇔ (thao dk)

thay t = log3x, ta được kết quả: x = 3t1 và x = 3t2

d) địa chỉ: x> 0

pt⇔

đặt t = log2x ta được pt: t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

với t = 1 x = 2

với t = -2 x = 1/4

e) 1 + log2 (x-1) = log (x-1) 4

thuật ngữ: 0 & lt; (x-1) ≠ 1 ⇔ 1 & lt; x ≠ 2

Xem Thêm : Các công thức tiếng anh thường gặp

đặt t = log2 (x-1) ta có pt: 1 + t = 2 / t ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

với t = 1 x-1 = 2 ⇔ x = 3

với t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x = 5/4.

* giải phương trình logarit bằng phương pháp hàm mũ

bài tập 3: giải các phương trình sau:

a) ln (x + 3) = -1 + 3

b) log2 (5 – 2x) = 2 – x

* giải pháp:

a) eq: x-3 & gt; 0 ⇔ x & gt; 3 với điều kiện này, chúng ta tính lũy thừa cả hai vế của pt đã cho, chúng ta nhận được pt:

Xem thêm: TỈ SỐ NÉN & ÁP SUẤT NÉN – Phụ Tùng Hàng Hiệu

(thỏa thuận)

b) log2 (5 – 2x) = 2 – x

nhật ký: 5 – 2x & gt; 0 ⇔ 2x & lt; 5

chấm

đặt t = 2x (t & gt; 0, t & lt; 5 do 2x & lt; 5) ta được: 5 – t = (4 / t) ⇔ t2 – 5t + 4 = 0

t = 1 (đạt yêu cầu) hoặc t = 4 (đồng ý)

với t = 1 x = 0

với t = 4 x = 2

bài tập 4: giải các bất phương trình sau

a) log0,5 (x + 1) log2 (2-x)

b) log2x – 13logx + 36 & gt; 0

giải pháp:

a) đơn vị: x + 1 & gt; 0 và 2-x & gt; 0 ⇔ -1 & lt; x & lt; 2

log0.5 (x + 1) ≤ log2 (2-x) ⇔ -log2 (x + 1) ≤ log2 (2-x) ⇔ log2 (2-x) + log2 (x + 1) ≥ 0

⇔ log2 (2-x) (x + 1) ≥ 0 ⇔ (2-x) (x + 1) ≥ 1 ⇔ -x2 – x +1 ≥ 0 ⇔ ≤x≤

kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là:

b) địa chỉ: x> 0

đặt t = logx thì: t2 – 13t + 36 = 0 ⇔ t & lt; 4 hoặc t & gt; 9

với t & lt; 4 ta có: logx & lt; 4⇔x & lt; 104

với t & gt; 9 ta có: logx & gt; 9⇔x> 109

kết hợp với điều kiện để bất phương trình có tập nghiệm là:

bài tập 5: giải các bất phương trình (học sinh tự giải)

a) 2

b)> 8

c) 2

d) <0