Phương trình logarit, bất phương trình logarit và bài tập áp dụng – Toán 12

Bạn đang xem: Phương trình logarit, bất phương trình logarit và bài tập áp dụng – Toán 12 Tại Trường Trung cấp, Cao đẳng, Đại học Xây dựng tại TPHCM – Sài Gòn

Để giải được bất phương trình và bất phương trình lôgarit các bạn cần nắm vững kiến ​​thức về hàm số lôgarit mà chúng tôi đã ôn tập ở bài trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm số lôgarit bạn có thể xem lại tại đây .

»đừng bỏ lỡ: tổng hợp các công thức toán 12 ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia

i. phương trình và phương trình lôgarit

1. phương trình logarit cơ bản

+ phương trình logax = b (0 & lt; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b

2. bất đẳng thức logarit cơ bản

+ xem xét các bất đẳng thức logax & gt; b:

– nếu a & gt; 1 thì logax & gt; b⇔x> ab

– nếu 0 & lt; a & lt; 1 thì logax & gt; b ⇔ 0 & lt; x & lt; ab

ii. phương pháp giải phương trình, phương trình lôgarit

1. giải phương trình logarit, bất phương trình logarit bằng cùng phương pháp cơ số

logaf (x) = logag (x) ⇔ f (x) = g (x)

logaf (x) = b ⇔ f (x) = ab

+ lưu ý: đối với pts và bpts logarit, chúng ta cần đặt điều kiện để biểu thức logaf (x) là có nghĩa, tức là f (x) ≥ 0.

2. giải phương trình bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ đối với các phương trình, bất kỳ logarit nào có thể được biểu thị dưới dạng logaf (x), chúng ta có thể sử dụng đơn vị con t = logaf (x).

+ ngoài việc đặt điều kiện cho biểu thức logaf (x) có nghĩa là f (x) & gt; 0, ta phải quan tâm đến đặc điểm của pt logarit, bpt đang xét (có chứa căn hay không, có ẩn trong mẫu hay không) thì ta phải đặt điều kiện để các pt, bpt này có nghĩa.

3. giải phương trình, logarit thực bằng phương pháp hàm mũ

+ đôi khi chúng ta không thể giải một phương trình, bất kể logarit bằng cách quay lại cùng một cơ số hoặc sử dụng phím trợ giúp, vì vậy chúng ta có thể đặt x = thành pt, bpt cơ bản (phương pháp này được gọi là hàm mũ)

+ mã định danh: loại pt này thường chứa nhiều cơ sở khác nhau

ii. bài tập về phương trình logarit và bất phương trình logarit

* giải pt logarit, bpt bằng cùng một phương pháp cơ số

bài tập 1: giải các phương trình sau

a) log3 (2x + 1) = log35

b) log2 (x + 3) = log2 (2×2-x-1)

Xem thêm: Phèn Chua Là Gì? Các Tác Dụng Tuyệt Vời Của Phèn Chua

c) log5 (x-1) = 2

d) log2 (x-5) + log2 (x + 2) = 3

* giải pháp:

a) thống nhất: 2x + 1 & gt; 0 ⇔ x> (- 1/2)

pt ⇔ 2x + 1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thành công)

b) đơn vị: x + 3 & gt; 0, 2×2 – x-1 & gt; 0, chúng tôi nhận được: x & gt; 1 hoặc (-3) & lt; x & lt; (- 1/2)

ta có: log2 (x + 3) = log2 (2×2-x-1) ⇔ x + 3 = 2×2 – x – 1 ⇔ 2×2 – 2x – 4 = 0

⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 (khớp) hoặc x = 2 (khớp)

c) đơn vị: x – 1 & gt; 0⇔x> 1

Xem Thêm : Cách pha màu sơn đẹp chuẩn như chuyên gia ngay tại nhà 

chúng ta có: log5 (x-1) = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 (thành công)

d) đơn vị: x-5 & gt; 0 và x + 2 & gt; 0 ta được: x & gt; 5

ta có: log2 (x-5) + log2 (x + 2) = 3 ⇔ log2 (x-5) (x + 2) = 3 ⇔ (x-5) (x + 2) = 23

p>

⇔ x2 – 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (khớp)

* giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

bài tập 2: giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)

e) 1 + log2 (x-1) = log (x-1) 4

* giải pháp:

a) địa chỉ: x> 0

chúng ta đặt t = log3x thì pt ⇔ t2 + 2t – 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -3

với t = 1 log3x = 1 x = 3

với t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27

b) Cờ 4log9x + logx3 – 3 = 0: 0 & lt; x ≠ 1

Xem thêm: Anđehit Axetic Là Gì? Công Thức Phân Tử Và Tính Chất Của Anđehit Axetic

pt 2log3x + 1 / log3x -3 = 0

đặt t = log3x thì pt ⇔ 2t + 1 / t – 3 = 0 ⇔ 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2

với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3 (thành công)

với t = 1/2 ⇔ log3x = 1/2 ⇔ x = √3 (thành công)

c) định nghĩa: log3x có nghĩa là ⇔ x & gt; 0

mẫu số của phân số phải khác không: (5 + log3x) ≠ 0 và (1 + log3x) ≠ 0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1

chúng tôi đặt t = log3x (t ≠ -1, t ≠ -5) sau đó:

⇔ (1 + t) +2 (5 + t) = (1 + t) (5 + t) ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t – 6 = 0

⇔ (thao dk)

thay t = log3x, ta được kết quả: x = 3t1 và x = 3t2

d) địa chỉ: x> 0

pt⇔

đặt t = log2x ta được pt: t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

với t = 1 x = 2

với t = -2 x = 1/4

e) 1 + log2 (x-1) = log (x-1) 4

thuật ngữ: 0 & lt; (x-1) ≠ 1 ⇔ 1 & lt; x ≠ 2

Xem Thêm : Vòng quay Vốn lưu động là gì? Cách tính Vòng quay vốn lưu động

đặt t = log2 (x-1) ta có pt: 1 + t = 2 / t ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

với t = 1 x-1 = 2 ⇔ x = 3

với t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x = 5/4.

* giải phương trình logarit bằng phương pháp hàm mũ

bài tập 3: giải các phương trình sau:

a) ln (x + 3) = -1 + 3

b) log2 (5 – 2x) = 2 – x

* giải pháp:

a) eq: x-3 & gt; 0 ⇔ x & gt; 3 với điều kiện này, chúng ta tính lũy thừa cả hai vế của pt đã cho, chúng ta nhận được pt:

Xem thêm: Công thức hoá học của quỳ tím – Các loại và một số ứng dụng

(thỏa thuận)

b) log2 (5 – 2x) = 2 – x

nhật ký: 5 – 2x & gt; 0 ⇔ 2x & lt; 5

chấm

đặt t = 2x (t & gt; 0, t & lt; 5 do 2x & lt; 5) ta được: 5 – t = (4 / t) ⇔ t2 – 5t + 4 = 0

t = 1 (đạt yêu cầu) hoặc t = 4 (đồng ý)

với t = 1 x = 0

với t = 4 x = 2

bài tập 4: giải các bất phương trình sau

a) log0,5 (x + 1) log2 (2-x)

b) log2x – 13logx + 36 & gt; 0

giải pháp:

a) đơn vị: x + 1 & gt; 0 và 2-x & gt; 0 ⇔ -1 & lt; x & lt; 2

log0.5 (x + 1) ≤ log2 (2-x) ⇔ -log2 (x + 1) ≤ log2 (2-x) ⇔ log2 (2-x) + log2 (x + 1) ≥ 0

⇔ log2 (2-x) (x + 1) ≥ 0 ⇔ (2-x) (x + 1) ≥ 1 ⇔ -x2 – x +1 ≥ 0 ⇔ ≤x≤

kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là:

b) địa chỉ: x> 0

đặt t = logx thì: t2 – 13t + 36 = 0 ⇔ t & lt; 4 hoặc t & gt; 9

với t & lt; 4 ta có: logx & lt; 4⇔x & lt; 104

với t & gt; 9 ta có: logx & gt; 9⇔x> 109

kết hợp với điều kiện để bất phương trình có tập nghiệm là:

bài tập 5: giải các bất phương trình (học sinh tự giải)

a) 2

b)> 8

c) 2

d) <0