Xác suất có điều kiện – Công thức Bayes – O₂ Education

xác suất có điều kiện và định lý bayes (định lý bayes) là những công cụ mạnh mẽ để tính toán xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên (sự kiện – sự kiện) xảy ra khi sự kiện liên quan b đã xảy ra.

xem thêm các bài tập xác suất thống kê của trường đại học bách khoa:

• sự kiện ngẫu nhiên và bài tập xác suất
• biến ngẫu nhiên và bài tập phân phối xác suất
• khái niệm cơ bản về tỷ lệ xác suất

1. xác suất có điều kiện

1.1. ví dụ về xác suất có điều kiện

xác suất có điều kiện (xác suất có điều kiện) là xác suất xảy ra một sự kiện $ a $ nhất định cho rằng một sự kiện $ b $ khác xảy ra. biểu thị $ mathrm {p} (a | b) $ và được đọc là “xác suất của $ a $, biết $ b $”.

ví dụ: rút một quân bài từ bộ bài 52 đô la, xác suất để nhận được quân át là 1 đô la / 52 đô la. nhưng nếu người chơi đã rút một con át, nếu anh ta tiếp tục rút một lá bài khác, sau đó rút một con át khác, xác suất chỉ là $ 1 / 51. $

Để hiểu rõ hơn, hãy xem thêm các ví dụ.

ví dụ 1. một cái chậu chứa 5 viên bi có cùng kích thước và chất liệu, chỉ khác nhau về màu sắc. trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. một viên bi được lấy ngẫu nhiên từ cái lọ, chúng ta nhận được một viên bi màu xanh, và sau đó một viên bi khác được rút ra một cách ngẫu nhiên. tìm xác suất để lấy được viên bi đỏ lần thứ hai.

hướng dẫn. gọi sự kiện là $ a $: “lấy viên bi đỏ lần thứ hai”. vì lần đầu tiên rút ra một viên bi xanh nên trong bình còn lại 4 viên bi, trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2. vậy xác suất cần tìm là $$ mathrm {p} ( a) = frac {2} {4} = 0 {.} 5. $$

ví dụ 2. tạo hai lần một cặp và một con súc sắc. Tìm xác suất để cuộn điểm đầu tiên không vượt quá 3.

hướng dẫn. không gian mẫu là $$ omega = big { left (i, j right): 1 leqslant i, j leqslant 6 big }, $ $ trong đó cặp $ left (i, j right) $ đại diện cho lần xuất hiện đầu tiên của mặt chấm $ i $, lần xuất hiện tiếp theo của mặt chấm $ j $. không gian mẫu có tất cả các phần tử $ 6 times 6 = 36 $.

hãy gọi $ a $ là sự kiện: “lông đầu tiên được một điểm”, $ b $ là biến cố: “tổng số điểm của hai lông không vượt quá 3”. chúng ta có thể dễ dàng liệt kê các yếu tố thuận lợi cho mỗi sự kiện như begin {align} a = & amp; big { left (1, 1 right), left (1, 2 right), left (1, 3 ) right), left (1, 4 right), left (1, 5 right), left (1, 6 right) big }, \ b = & big { left (1, 1 right), left (1, 2 right), left (2, 1 right) big }, \ ab = & amp; big { left (1, 1 right) )), left (1, 2 right) big }. end {align}

dễ dàng đếm số phần tử của $ a, b, ab $ lần lượt là $ 6 $, $ 3 $, $ 2 $. do đó, theo định nghĩa cổ điển của xác suất, chúng ta có

$$ mathrm {p} (a) = frac {6} {36}, quad mathrm {p} (b) = frac {3} {36}, quad mathrm {p} (ab) = frac {2} {36}. $$

nếu $ b $ được biết là đã xảy ra, thì $ a $ xảy ra khi một trong hai kết quả $ left (1, 1 right) $ và $ left (1, 2 right) $ xảy ra. thì xác suất của $ a $ với điều kiện $ b $ là $$ mathrm {p} (a | b) = frac {2} {3}. $$ nhận xét rằng $$ frac {2} {3} = frac {{2} / {36}} {{3} / {36}} = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (b)} $$ hoặc $$ mathrm {p} (a | b) = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (b)}. $$ từ đó, chúng ta có công thức xác suất có điều kiện sau đây.

nếu bài viết hữu ích các bạn có thể cho mình xin 1 ly cafe vào số tài khoản agribank 3205 215 033 513. cám ơn!

1.2. công thức xác suất có điều kiện

giả sử số lượng kết quả có thể có cho thử nghiệm là $ n $, số lượng kết quả thuận lợi cho sự kiện $ b $ là $ m $ và số lượng kết quả thuận lợi cho biến thử $ ab $ là $ n $ .

theo định nghĩa cổ điển của xác suất $$ mathrm {p} (b) = frac {m} {n}, mathrm {p} (ab) = frac {n} {n}. $$

khi sự kiện $ b $ đã xảy ra, số kết quả kiểm tra có thể có cho sự kiện $ a $ là $ m $, trong đó $ n $ thuận lợi để $ a $ xảy ra. do đó, xác suất để sự kiện $ a $ biết rằng $ b $ đã xảy ra là $$ mathrm {p} (a | b) = frac {n} {m} = frac {n / n} {m / n} = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (b)}. $$

Từ đó, chúng ta có công thức xác suất có điều kiện sau:

xác suất có điều kiện của sự kiện $ a $ bất cứ khi nào $ b $ là một số được ký hiệu là $ mathrm {p} (a | b) $ được xác định bởi công thức $$ mathrm {p} (a | b) = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (b)}, mathrm {p} (b)> 0. $$

Từ định nghĩa trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận được các thuộc tính xác suất có điều kiện sau:

• $ mathrm {p} (a | b) geqslant 0. $
• $ mathrm {p} left ( omega | b right) = mathrm {p } left (b | b right) = 1. $
• nếu $ a_1, a_2, ldots, a_n $ là các sự kiện loại trừ lẫn nhau, tức là $ a_ia_j = varnothing $ cho mỗi $ i neq j $, chúng ta có $$ mathrm {p} left ( left ( bigcup limit_ {i = 1} ^ {n} a_i right) ELECT | b right) = sum limit_ {i = 1} ^ {n} mathrm {p} left (a_i | b right). $$

ví dụ 3. tung ba con xúc xắc giống nhau cùng một lúc. Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 8, biết rằng ít nhất một trong các chấm xuất hiện trên 5 chấm.

hướng dẫn. không gian mẫu bao gồm các phần tử $$ omega = big { left (i, j, k right): 1 leqslant i, j, k leqslant 6 big }, $ $ where tập hợp các số $ left (i, j, k right) $ biểu thị rằng “con súc sắc đầu tiên xuất hiện $ i $ có dấu chấm, con súc sắc thứ hai xuất hiện $ j $ chấm và con súc sắc thứ ba xuất hiện $ k $ với các dấu chấm.”

gọi $ a $ sự kiện: “tổng số điểm xuất hiện trên cả ba con xúc xắc là 8”, $ b $ sự kiện: “ít nhất một con xúc xắc tạo ra 5 điểm”. chúng ta có $$ mathrm {p} (a | b) = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (b)}. $$

vì $ b $ là sự kiện: “ít nhất một con xúc xắc xuất hiện với 5 điểm”, thì $ overline {b} $ là sự kiện: “không có con xúc xắc nào xuất hiện với 5 điểm” thì $$ overline {b} = big { left (i, j, k right): 1 leqslant i, j, k leqslant 6, i, j, k neq 5 big }. $$

suy ra $$ mathrm {p} ( overline {b}) = frac {| overline {b} |} {| omega |} = frac {5 ^ 3} {6 ^ 3}. $$

Xem thêm: Chi phí cận biên (marginal cost) và cách tính chi phí cận biên

so $$ mathrm {p} (b) = 1- mathrm {p} ( overline {b}) = 1- frac {5 ^ 3} {6 ^ 3} = frac {91} {216}. $$

chúng tôi thấy rằng $ ab $ là sự kiện: “tổng điểm trên ba viên xúc xắc là 8 và ít nhất một trong các viên xúc xắc tạo ra 5”, do đó $$ ab = big { left (1, 2, 5 right), left (1, 5, 2 right), left (2, 1, 5 right), left (2, 5, 1 right), left (5, 1, 2 phải), trái (5, 2, 1 phải) lớn }. $$

infers $$ mathrm {p} (ab) = frac {| ab |} {| omega |} = frac {15} {6 ^ 3} = frac {15} {216}. $$

thì xác suất tìm thấy là $$ mathrm {p} (a | b) = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (b)} = frac {{15 } / {216}} {{91} / {216}} = frac {15} {91}. $$

ví dụ 4. một gia đình có 2 con. biết rằng có ít nhất một bé trai là bé gái. Xác suất để cả hai bé trai đều là gái?

hướng dẫn. chúng tôi có các nhận xét sau:

• xác suất để một đứa trẻ là trai hay gái bằng $ 1/2 $.
• giới tính của cả hai đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan.

giải pháp. Vì gia đình có 2 con nên sẽ có 4 khả năng xảy ra:

(boy, boy), (girl, girl), (girl, boy), (boy, girl).

Xem Thêm : Công thức tính vận tốc trung bình dễ nhất 2022

gọi $ a $ là sự kiện “cả hai bé trai đều là bé gái” và $ b $ sự kiện “ít nhất một bé trai là một bé gái” thì có $$ mathrm {p} (a) = frac {1} { 4}, quad mathrm {p} (b) = frac {3} {4}. $$ làm nếu $ a $ xảy ra thì tất nhiên $ b $ xảy ra, vì vậy chúng ta có: $$ mathrm {p} (ab) = mathrm {p} (a) = frac {1} {4}. $$ infers, xác suất để cả hai bé trai là bé gái khi ít nhất một bé trai là bé gái là $$ mathrm {p} (a | b) = dfrac { mathrm {p} left (a, b right) } { mathrm {p} (b)} = dfrac {{1} / {4}} {{3} / {4}} = frac {1} {3}. $ $ bằng mắt thường, chúng ta cũng có thể thấy điều này xác suất. biết rằng trai là gái thì giới tính của hai trẻ sẽ có 3 khả năng: (trai, gái), (gái, trai), (gái, gái).

ví dụ 5. một hộp chứa 8 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ. lần lượt rút từng quả bóng. Giả sử một quả bóng trắng được rút ra lần đầu tiên. xác định xác suất để rút được bi đỏ lần thứ hai.

hướng dẫn. gọi $ b $ là sự kiện lần đầu tiên một quả bóng màu trắng được rút ra và $ a $ là sự kiện lần thứ hai một quả bóng màu đỏ được rút ra. xác suất để lần thứ hai rút được quả bóng màu đỏ khi lần thứ nhất rút được quả bóng màu trắng là $$ mathrm {p} (a | b) = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p } (b)} = frac {8/10 times 2/9} {8/10} = frac {2} {9}. $$

2. công thức nhân xác suất

2.1. công thức nhân xác suất

của công thức xác suất có điều kiện $$ mathrm {p} (a | b) = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (b)}, quad mathrm {p } (b | a) = frac { mathrm {p} (ab)} { mathrm {p} (a)}, $$ chúng ta nhận được công thức nhân xác suất $$ mathrm {p} (ab) = mathrm {p} (b) mathrm {p} (a | b) = mathrm {p} (a) mathrm {p} left (b | a right), $$ với $ mathrm {p} (a)> 0 {,} mathrm {p} (b)> 0 $.

công thức nhân xác suất được sử dụng trong một số trường hợp, trong đó chúng ta có thể biết ngay xác suất $ mathrm {p} left (b | a right) $ hoặc $ mathrm {p} (a | b) $ và sau đó tính xác suất $ mathrm {p} (ab) $.

ví dụ 1. trong hộp có 20 chai bia con hổ, trong đó có 2 nắp ghi “chúc mừng chiến thắng của bạn”. bạn được chọn để rút hai nắp chai bia cùng một lúc, hãy tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.

hướng dẫn. gọi $ a $ sự kiện “giành được nắp chai bia đầu tiên”, $ b $ sự kiện “giành được nắp chai bia thứ hai”, $ c $ sự kiện “giành được cả hai nắp”.

Khi bạn rút lần đầu tiên, có 20 chữ hoa trong hộp, 2 trong số đó là người chiến thắng, vì vậy $$ mathrm {p} (a) = frac {2} {20}. $$

Khi sự kiện $ a $ diễn ra, còn lại 19 giới hạn, trong đó có 1 giới hạn chiến thắng. sau đó $$ mathrm {p} left (b / a right) = frac {1} {19}. $$ suy ra, xác suất cả hai đội đều thắng là $$ mathrm {p} left (c right) = mathrm {p} (a). mathrm {p} left (b / a right) = frac {2/20} {1/19} = frac {1} {190} khoảng 0,0053. $$

ví dụ 2. Một cái chậu chứa 5 viên bi có cùng kích thước và chất liệu, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi trắng. một viên bi được rút ra một cách ngẫu nhiên và sau đó một viên bi khác được chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất lấy được viên bi xanh lần thứ nhất và viên bi trắng lần thứ hai.

hướng dẫn. gọi $ a $ là sự kiện: “lấy viên bi xanh lần đầu tiên”, $ b $ là sự kiện: “lấy viên bi trắng lần đầu tiên”, $ b $ là sự kiện: “lần đầu tiên nhận được một viên bi trắng”. Thứ Hai “. Chúng ta cần tính xác suất $ mathrm {p} (ab) $.

theo công thức nhân xác suất $$ mathrm {p} (ab) = mathrm {p} (a) mathrm {p} left (b | a right). $$ vì có 3 viên bi 5 màu xanh lục nên $$ mathrm {p} (a) = frac {3} {5} = 0 {.} 6. $$ nếu $ a $ xảy ra, tức là lần đầu tiên rút ra một viên bi xanh, thì trong bình còn lại 4 viên bi trong đó số viên bi trắng là 2, do đó $$ mathrm {p} left (b | a right) = frac {2} {4} = 0 {.} 5. $$ vì vậy xác suất tìm thấy là $$ mathrm {p} (ab) = mathrm {p} (a) mathrm {p} left (b | a right) = 0 {.} 6 lần 0 {.} 5 = 0 {.} 3. $$

2.2. công thức nhân xác suất chung

Bằng cách quy nạp, chúng ta có công thức nhân xác suất chung sau:

giả sử $ n geqslant 2 $ và $ a_1, a_2, ldots, a_n $ là các sự kiện sao cho $ mathrm {p} left (a_1a_2 ldots a_ {n-1} right) & gt; 0 $ . thì chúng ta có $$ mathrm {p} left (a_1a_2 ldots a_ {n} right) = mathrm {p} left (a_1 right) mathrm {p} left (a_2 | a_1 right) mathrm {p} left (a_3 | a_1a_2 right) ldots mathrm {p} left (a_n | a_1a_2 ldots a_ {n-1} right). $$

ví dụ 3. Một người bán hàng có một bộ gồm 9 chìa khóa giống hệt nhau về hình dáng, chỉ có hai chìa khóa có thể mở được cửa. thử ngẫu nhiên từng phím (chìa sai bị lấy ra khỏi vòng chìa khóa). Tìm xác suất để lần thử thứ ba mở được cửa.

hướng dẫn. gọi $ a_1 $ là sự kiện: “cửa không mở trong lần thử đầu tiên”, $ a_2 $ là sự kiện: “cửa không mở trong lần thử thứ hai” và $ a_3 $ là sự kiện: “mở cửa trong lần thử thứ 3”. chúng ta phải tìm $ mathrm {p} left (a_1a_2a_3 right) $. theo công thức nhân xác suất, chúng ta có $$ mathrm {p} left (a_1a_2a_3 right) = mathrm {p} left (a_1 right) mathrm {p} left (a_2 | a_1 right) mathrm {p} left (a_3 | a_1a_2 right). $$

chúng ta có $$ mathrm {p} left (a_1 right) = frac {7} {9}, mathrm {p} left (a_2 | a_1 right) = frac {6} { 8}, mathrm {p} left (a_3 | a_1a_2 right) = frac {2} {7}. $$

so $$ mathrm {p} left (a_1a_2a_3 right) = frac {7} {9} times frac {6} {8} times frac {2} {7} = fraction {1} {6}. $$

Xem thêm: Cách tính khối lượng mái taluy – HoaSenHomes.vn

ví dụ 4. Một thợ săn thỏ trong rừng, xác suất bắn trúng một con thỏ của anh ta trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách của lần bắn. anh ta thực hiện lần bắn thứ nhất ở cự ly 20 m với xác suất bắn trúng con thỏ là 0,5, nếu bắn trượt quả thứ hai ở cự ly 30 m, nếu bắn trượt lần nữa, anh ta bắn tiếp quả thứ ba ở cự ly 50 m. Tìm xác suất để người thợ săn bắt được con thỏ.

hướng dẫn. gọi $ a_k $ là sự kiện “người thợ săn bắn trúng con thỏ ở lần thứ $ k $” với $ k = 1,2,3. $ tùy thuộc vào vấn đề, chúng ta có begin {align} mathrm {p} left (a_1 right) & amp; = 0 {.} 5, \ mathrm {p} left (a_2 | overline {a_1} right) & amp; = frac {20 times 0 {.} 5} {30} = frac {1} {3}, \ mathrm {p} left (a_3 | overline {a_1}. overline {a_2} right) & amp; = frac {20 times 0.} 5} {50} = frac {1} {5}. end {align} gọi sự kiện “thợ săn bắn trúng con thỏ” $ a $ rồi đến $ $ a = a_1 cup overline {a_1} a_2 cup overline {a_1}. overline {a_2} .a_3. $$ vì các sự kiện $ a_1, overline {a_1} a_2, overline {a_1}. overline {a_2} .a_3 $ loại trừ lẫn nhau, chúng ta có $$ mathrm {p} (a) = mathrm {p } left (a_1 right) + mathrm {p} left ( overline {a_1} a_2 right) + mathrm {p} left ( overline {a_1}. overline {a_2} .a_3 right ) $$ bằng công thức nhân xác suất, rồi $$ mathrm {p} left ( overline {a_1} a_2 right) = mathrm {p} left ( overline {a_1} right) mathrm {p } left (a_2 | overline {a_1} right) = left (1-0 {,} 5 right) times mathrm {p} left (a_2 | overline {a_1} right) = phân số {1} {6}. $$$$ mathrm {p} left ( overline {a_1}. overline {a_2} .a_3 right) = mathrm {p} left ( overline {a_1} right) mathrm {p} left ( overline {a_2} | overline {a_1} right) mathrm {p} left (a_3 | overline {a_1}. overline {a_2} right) = left (1-0 {, 5} right) left (1- frac {1} {3} right) times frac {1} {5} = frac {1} {15}. $$ vì vậy xác suất tìm thấy là $ $ mathrm {p} (a) = 0 {.} 5+ frac {1} {6} + frac {1} {15} = frac {11} {15}. $$

3. công thức xác suất tổng

3.1. hoàn thiện hệ thống sự kiện

Hệ thống sự kiện $ big {b_1, b_2, ldots, b_n big } $ được cho là sẽ hoàn tất nếu hai điều kiện giữ đồng thời:

• $ b_1, b_2, ldots, b_n $ là các sự kiện không tương thích lẫn nhau, tức là $ b_ib_j = varnothing $ cho tất cả $ i neq j $,
• $ omega = b_1 cốc b_2 cốc cdots cốc b_n $.

lưu ý rằng hệ thống $ big {b, overline {b} big } $ là một hệ thống hoàn chỉnh, trong đó $ b $ là bất kỳ sự kiện nào.

3.2. công thức xác suất tổng

giả sử $ big {b_1, b_2, ldots, b_n big } $ là một hệ thống đầy đủ các sự kiện với $ mathrm {p} left (b_i right) & gt; 0, , forall i = 1,2, ldots, n $. vì vậy đối với bất kỳ sự kiện nào $ a $, chúng ta có $$ mathrm {p} (a) = mathrm {p} left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right) + mathrm {p} left (b_2 right) mathrm {p} left (a | b_2 right) + cdots + mathrm {p} left (b_n right) mathrm {p} left (a | b_n Đúng). $$

ví dụ 1. có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm ban đầu, hộp thứ hai chứa 15 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm ban đầu, hộp thứ ba chứa 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm ban đầu. chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. tìm xác suất nhận được mặt hàng thực tế.

hướng dẫn. biểu thị $ b_k $ là sự kiện: “sản phẩm xuất xưởng $ k $”, $ k = 1, 2, 3 $ và $ a $ là một thử nghiệm biến: “get bản gốc. ngay lập tức chúng ta có $ big {b_1, b_2, b_3 big } $ là hệ thống sự kiện hoàn chỉnh và

• $ mathrm {p} left (b_1 right) = frac {1} {3}, mathrm {p} left (b_2 right) = frac {1} {3} , mathrm {p} left (b_3 right) = frac {1} {3}, $
• $ mathrm {p} left (a | b_1 right) = frac { 6} {10}, mathrm {p} left (a | b_2 right) = frac {10} {15}, mathrm {p} left (a | b_3 right) = frac {15} {20}. $

làm theo công thức xác suất đầy đủ $$ mathrm {p} (a) = mathrm {p} left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right) + mathrm {p } left (b_2 right) mathrm {p} left (a | b_2 right) + mathrm {p} left (b_3 right) mathrm {p} left (a | b_3 right) $ $

Thay các giá trị được tính ở trên vào công thức này, chúng ta nhận được $$ mathrm {p} (a) = frac {1} {3} times frac {6} {10} + frac {1} {3} times frac {10} {15} + frac {1} {3} times frac {15} {20} = frac {31} {45} $$ thì xác suất nhận được bản gốc là $ {31} / {45} $.

ví dụ 2. Từ một hộp chứa $ m $ bi trắng và $ n $ bi đen, một hoặc hai bi được rút ngẫu nhiên được rút ra một cách ngẫu nhiên. tìm xác suất để lựa chọn thứ hai là màu trắng.

hướng dẫn. biểu thị $ a $ là sự kiện: “lần thứ hai bi cái được rút ra”, $ b_1 $ là sự kiện: “lần đầu tiên bi cái được rút ra”, $ b_2 $ là sự kiện: “lần đầu tiên rút được quả bóng đen”.

chúng tôi có

• $ mathrm {p} left (b_1 right) = frac {m} {m + n}, mathrm {p} left (b_2 right) = frac {n} { m + n}, $
• $ mathrm {p} left (a | b_1 right) = frac {m-1} {m + n-1}, mathrm {p} left (a | b_2 right) = frac {m} {m + n-1}. $

vì $ big {b_1, b_2 big } $ là một hệ thống hoàn chỉnh, theo công thức xác suất hoàn chỉnh, chúng ta có begin {align} mathrm {p} (a) & amp; = mathrm {p } left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right) + mathrm {p} left (b_2 right) mathrm {p} left (a | b_2 right) = & amp; frac {m} {m + n} times frac {m-1} {m + n-1} + frac {n} {m + n} times frac {m} {m + n-1} \ = & amp; frac {m left (m-1 right) + mn} { left (m + n right) left (m + n-1 right)} = & amp ; frac {m left (m + n-1 right)} { left (m + n right) left (m + n-1 right)} = & amp; frac {m} {m + n}. end {align} nên xác suất để lựa chọn thứ hai là màu trắng là $ frac {m} {m + n} $.

ví dụ 3. có 10 túi bi như sau:

• 4 túi loại 1, mỗi túi loại 1 đựng 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen,
• 2 túi loại 2, mỗi túi loại 2 đựng 3 viên bi trắng và 7 viên bi đen. ,
• 1 túi loại 3, trong mỗi túi loại 3 có 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen,
• 3 túi loại 4, trong mỗi túi loại 4 có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen.

chọn ngẫu nhiên 1 túi, sau đó chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. tìm xác suất lấy được hai viên bi cùng màu.

hướng dẫn. biểu thị $ b_k $ là sự kiện “chọn túi loại $ k $”, $ k = 1, 2, 3, 4 $ và $ a $ là sự kiện “lấy hai viên bi cùng màu. ”

Xem Thêm : Tổng hợp thực đơn nấu nước dashi rau củ bổ dưỡng

chúng tôi có $ big {b_1, b_2, b_3, b_4 big } $ là hệ thống sự kiện hoàn chỉnh và

begin {align} mathrm {p} left (b_1 right) = frac {4} {10}, mathrm {p} left (b_2 right) = frac {2} {10 }, \ mathrm {p} left (b_3 right) = frac {1} {10}, mathrm {p} left (b_4 right) = frac {3} {10}, \ mathrm {p} left (a | b_1 right) = frac {c_6 ^ 2 + c_4 ^ 2} {c_ {10} ^ 2} = frac {21} {45}, mathrm {p} left (a | b_2 right) = frac {c_3 ^ 2 + c_7 ^ 2} {c_ {10} ^ 2} = frac {24} {45}, \ mathrm {p} left (a | b_3 right) = frac {c_7 ^ 2 + c_3 ^ 2} {c_ {10} ^ 2} = frac {24} {45}, mathrm {p} left (a | b_4 right) = phân số {c_4 ^ 2 + c_6 ^ 2} {c_ {10} ^ 2} = frac {21} {45}. end {align}

làm theo công thức xác suất đầy đủ $$ mathrm {p} (a) = mathrm {p} left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right) + mathrm {p } left (b_2 right) mathrm {p} left (a | b_2 right) + mathrm {p} left (b_3 right) mathrm {p} left (a | b_3 right) + mathrm {p} left (b_4 right) mathrm {p} left (a | b_4 right) $$

suy ra $$ mathrm {p} (a) = frac {4} {10} times frac {21} {45} + frac {2} {10} times frac {24} { 45} + frac {1} {10} times frac {24} {45} + frac {3} {10} times frac {21} {45} = frac {219} {450}. $$

thì xác suất tìm thấy là $ frac {219} {450} $.

ví dụ 4. Có hai hộp. hộp thứ nhất đựng 4 viên bi trắng và 5 viên bi đen. hộp thứ hai đựng 5 viên bi trắng và 4 viên bi đen. chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. tính xác suất rút được một quả bóng trắng từ túi thứ hai.

hướng dẫn. gọi $ a $ sự kiện: “rút một viên bi trắng từ hộp thứ hai”, $ b_k $ sự kiện: “trong 3 viên bi rút ra từ hộp đầu tiên”, $ b_k $ có $ k $ viên bi trắng ”, $ k = 0, 1, 2, 3 $.

sau đó $ big {b_0 {,} b_1, b_1, b_3 big } $ là hệ thống sự kiện hoàn chỉnh và chúng ta có begin {align} mathrm {p} left (b_0 right) & amp ; = frac {c_5 ^ 3} {c_9 ^ 3} = frac {10} {84}, \ mathrm {p} left (b_1 right) & amp; = frac {c_4 ^ 1c_5 ^ 2} {c_9 ^ 3} = frac {40} {84}, \ mathrm {p} left (b_2 right) & amp; = frac {c_4 ^ 2c_5 ^ 1} {c_9 ^ 3} = frac { 30} {84}, \ mathrm {p} left (b_3 right) & amp; = frac {c_4 ^ 3} {c_9 ^ 3} = frac {4} {84}. End {align}

theo công thức xác suất đầy đủ $$ mathrm {p} (a) = mathrm {p} left (b_0 right) mathrm {p} left (a | b_0 right) + mathrm {p } left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right) + mathrm {p} left (b_2 right) mathrm {p} left (a | b_2 right) + mathrm {p} left (b_3 right) mathrm {p} left (a | b_3 right). $$

Xem thêm: 15 kiểu tóc màu nâu trà sữa đẹp, được ưa chuộng nhất

dễ thấy begin {align} mathrm {p} left (a | b_0 right) = frac {5} {12}, quad & amp; mathrm {p} left (a | b_1 right) = frac {6} {12}, \ mathrm {p} left (a | b_2 right) = frac {7} {12}, quad & amp; mathrm {p} left (a | b_3 right) = frac {8} {12}. end {align}

Thay các giá trị này vào công thức xác suất đầy đủ, chúng ta nhận được $$ mathrm {p} (a) = frac {10} {84} times frac {5} {12} + frac {40} {84} times frac {6} {12} + frac {30} {84} times frac {7} {12} + frac {4} {84} times frac {8} {12 } = frac {532} {1008} = frac {19} {36}. $$

thì xác suất tìm thấy là $ {19} / {36} $.

ví dụ 5. trong một hộp có $ n $ sản phẩm, chúng tôi đặt một sản phẩm tốt vào hộp đó và sau đó chúng tôi chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. xác suất để sản phẩm được rút ra là tốt nếu tất cả các giả định về trạng thái ban đầu của chiếc hộp là khả năng đồng nhất.

hướng dẫn. gọi $ a $ cho sự kiện: “mua một sản phẩm tốt”, $ b_i $ cho sự kiện: “lúc đầu hộp có $ i $ sản phẩm tốt”, $ i = 0, 1, ldots, n $. thì $ big {b_0 {,} b_1, ldots, b_n big } $ là hệ thống sự kiện hoàn chỉnh.

theo giả định $$ mathrm {p} left (b_i right) = frac {1} {n + 1}, i = 0,1, ldots, n. $$

chúng ta có $ mathrm {p} left (a | b_i right) = frac {i + 1} {n + 1} $ cho tất cả $ i = 0,1, ldots, n $. theo công thức xác suất đầy đủ

$$ mathrm {p} (a) = sum limit_ {i = 0} ^ {n} mathrm {p} left (b_i right) mathrm {p} left (a | b_i Đúng). $$

chúng tôi nhận được begin {align} mathrm {p} (a) & amp; = sum limit_ {i = 0} ^ {n} frac {i + 1} { left (n + 1) phải) ^ 2} \ & amp; = frac {1 + 2 + cdots + left (n + 1 right)} { left (n + 1 right) ^ 2} \ & amp; = frac { left (n + 1 right) left (n + 2 right)} {2 left (n + 1 right) ^ 2} \ & amp; = frac {n + 2} {2 left ( n +1 right)}. end {align}

4. công thức bayes – định lý bayes

giả sử $ mathrm {p} (a) & gt; 0 $ và $ big {b_1, b_2, ldots, b_n big } $ là hệ thống đầy đủ các sự kiện với $ mathrm {p} left (b_k right)> 0 $ cho tất cả $ k = 1,2, ldots, n $. vì vậy với tất cả $ k = 1,2, ldots, n $, chúng ta có $$ mathrm {p} left (b_k | a right) = frac { mathrm {p} left (b_k right) mathrm {p} left (a | b_k right)} { mathrm {p} left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right) + mathrm {p} left (b_2 right) mathrm {p} left (a | b_2 right) + cdots + mathrm {p} left (b_n right) mathrm {p} left (a | b_n right)}. $$

ví dụ 1. Dây chuyền lắp ráp nhận các bộ phận do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% linh kiện, máy thứ hai cung cấp 40% linh kiện. Khoảng 90% các bộ phận được sản xuất bởi máy thứ nhất là tiêu chuẩn, trong khi 85% các bộ phận được sản xuất bởi máy thứ hai là tiêu chuẩn. chọn một sản phẩm ngẫu nhiên từ dòng, tìm một sản phẩm đủ tiêu chuẩn. tìm xác suất để sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất.

hướng dẫn. gọi $ a $ là sự kiện: “một phần của dòng đủ điều kiện”, $ b_1 $ là sự kiện: “phần do máy đầu tiên tạo ra” và $ b_2 $ là sự kiện: “ mảnh được sản xuất bởi máy thứ hai ”. chúng ta cần tính xác suất $ mathrm {p} left (b_1 | a right) $.

làm theo công thức bayes $$ mathrm {p} left (b_1 | a right) = frac { mathrm {p} left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right)} { mathrm {p} left (b_1 right) mathrm {p} left (a | b_1 right) + mathrm {p} left (b_2 right) mathrm {p} left (a | b_2 right)}. $$

theo điều kiện của bài toán $$ mathrm {p} (b_1) = 0 {,} 6; mathrm {p} (b_2) = 0 {.} 4; $$$$ mathrm {p} (a | b_1) = 0 {.} 9; mathrm {p} (a | b_2) = 0 {.} 85. $$

thay vào đó, chúng ta có $$ mathrm {p} left (b_1 | a right) = frac {0 {.} 6 times 0 {.} 9} {0 {.} 6 times 0 {, } 9 + 0 {.} 4 lần 0 {.} 85} = 0 {.} 614. $$

Sau đây là một bài toán nổi tiếng trong xác suất thống kê, được giải theo nhiều cách khác nhau. Hãy thử giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng định lý Bayes. ví dụ 2. [Bài toán về những đứa trẻ của Thứ Ba] một gia đình có hai đứa con. biết rằng có ít nhất một trẻ là gái và sinh vào ngày thứ Ba, xác suất để cả hai trẻ đều là gái?

hướng dẫn. chúng tôi có nhận xét sau:

• xác suất để một đứa trẻ được sinh ra vào một ngày nhất định trong tuần là $ 1/7 $.
• giới tính và ngày sinh của đứa trẻ là 2 sự kiện không liên quan. .

chúng tôi biểu thị các sự kiện như sau:

• $ b $ là biến cố “có ít nhất 1 trai là gái sinh vào thứ Ba”,
• $ a $ là biến cố “cả trai đều là gái”, xác suất là $ mathrm {p} (a) = 1/4 $,
• $ a_1 $ là sự kiện “chỉ một trong số các trẻ em là con gái”, $ mathrm {p} (a_1) = 1/2 $,
• $ c $ là sự kiện “cậu bé sinh vào thứ Ba”, $ mathrm {p} (c) = 1/7 $,
• $ overline { c} $ là sự kiện “đứa trẻ được sinh ra vào thứ Ba”, $ mathrm {p} ( overline {c}) = 6/7 $.

Để sử dụng định lý Bayes để tính $ mathrm {p} (a | b) $, chúng ta cần tính $ mathrm {p} (b | a) $ và $ mathrm {p} (b) $.

$ mathrm {p} (b | a) $ được hiểu là xác suất để có ít nhất 1 trẻ là gái sinh vào thứ Ba nếu biết trước 2 trẻ gái. chúng ta sẽ tính xác suất của phần bù. $ mathrm {p} ( overline {b} | a) $, đây là xác suất để không có bé trai nào sinh vào Thứ Ba. $$ mathrm {p} ( overline {b} | a) = mathrm {p } ( overline {c}) mathrm {p} ( overline {c}) = dfrac {6} {7} times dfrac {6} {7} = dfrac {36} {49} $$ thì chúng ta có $$ mathrm {p} (b | a) = 1 – mathrm {p} ( overline {b} | a) = dfrac {13} {49} $$$ mathrm {p} ( b) $ là xác suất để có ít nhất một trẻ là gái sinh vào ngày thứ 3. Biến cố này bao gồm 2 khả năng:

• cả hai bé trai đều là bé gái $ a $,
• chỉ có một bé trai là bé gái $ a_1 $.

chúng ta có begin {align} mathrm {p} (b) & amp; = mathrm {p} (ba) + mathrm {p} (ba_1) \ & amp; = mathrm {p} (b | a) mathrm {p} (a) + mathrm {p} (b | a_1) mathrm {p} (a_1) \ & amp; = dfrac {13} {49} times dfrac {1} {4} + dfrac {1} {7} times dfrac {1} {2} \ & amp; = dfrac {27} {196} end {align}

thay vì định lý bayes, chúng ta nhận được $$ mathrm {p} (a | b) = dfrac { mathrm {p} (b | a) times mathrm {p} (a)} { math {p} (b)} = dfrac { tfrac {13} {49} times tfrac {1} {4}} { tfrac {27} {196}} = dfrac {13} {27} xấp xỉ 0 {,} 481 $$ ta có thể minh họa bằng hình sau, xác suất tìm được bằng số ô màu xanh lam chia cho tổng số ô màu vàng và xanh lục.

chúng tôi sử dụng một đoạn mã python nhỏ để kiểm tra kết quả được tính toán.

đoạn mã trên thực thi 100k dữ liệu ngẫu nhiên. lấy bản in sau

xác suất được tính toán tương đối gần với con số chúng tôi tính toán bằng cách sử dụng định lý Bayes ở trên.

các bài viết được thêm từ https://1upnote.me/post/2018/11/ds-ml-bayes-theorem/ và https://math4rum.wordpress.com/2013/04/01/bai-1-5 -cong-thuc-xac-suat-day-du-cong-thuc-bayes /