Cách tính cạnh tam giác vuông lớp 9 cực hay và chi tiết

Là một giáo sư Biết Tuốt, tôi thường xuyên nhận được những câu hỏi về toán học, đặc biệt là từ các bạn học sinh lớp 9. Một trong số những câu hỏi phổ biến nhất chính là cách tính cạnh tam giác vuông. Đừng lo lắng, trong bài viết này, tôi sẽ chia sẻ với các bạn phương pháp giải chi tiết và dễ hiểu nhất, giúp các bạn chinh phục dạng bài tập này một cách dễ dàng.

A. Phương pháp giải

Để tính độ dài cạnh góc vuông trong tam giác vuông, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

Bước 1: Xác định cạnh huyền

Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất trong tam giác vuông.

Bước 2: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, BC = a, AB = c, AC = b, AH = h. Khi đó, ta có các hệ thức sau:

• Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:

  • b² = ab’ (b’ là hình chiếu của AC trên cạnh huyền BC)
  • c² = ac’ (c’ là hình chiếu của AB trên cạnh huyền BC)

• Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền:

  • h² = b’c’

• Hệ thức giữa đường cao và hai cạnh góc vuông:

  • ha = bc

• Hệ thức giữa đường cao và cạnh huyền:

  • 1/h² = 1/b² + 1/c²

• Định lý Pytago:

  • a² = b² + c²

B. Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, chúng ta cùng đến với một số ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 20cm, HC = 30cm. Tính AB, AC, AH.

Bài giải:

Ta có: BC = BH + HC = 20 + 30 = 50 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có đường cao AH:

• AB² = BH.BC = 20.50 = 1000 => AB = √1000 = 10√10 (cm)
• AC² = CH.CB = 30.50 = 1500 => AC = √1500 = 10√15 (cm)
• AH² = BH.CH = 20.30 = 600 => AH = √600 = 10√6 (cm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 9cm; AC = 12cm; BC = 15cm, đường cao AH. Tính độ dài AH.

Bài giải:

Xét tam giác ABC có: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²

=> Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (Định lý Py – ta – go đảo)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AH.BC = AB.AC => AH.15 = 9.12 => AH = 7,2 cm

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AC : AB = √3 : 1. Tỉ số HC : HB bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có đường cao AH:

• AC² = CH.BC
• AB² = BH.BC

=> (AC/AB)² = CH/BH

=> (√3 / 1)² = CH/BH

=> HC : HB = 3 : 1

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Giá trị của x trong hình bên là bao nhiêu biết BC = 20, AB = 12

Bài giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = BH.BC

=> 12² = x.20

=> x = 7,2

Đáp án: 7,2

Bài 2: Tìm AH, BC với các giá trị như hình bên.

Bài giải:

• Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC ta có:

BC² = AB² + AC²

=> BC² = 6² + 8² = 100

=> BC = √100 = 10

• Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

  • AH.BC = AB.AC => AH.10 = 6.8 => AH = 4,8
  • AB² = BH.BC => 6² = BH.10 => BH = 3,6
  • CH = BC – BH = 10 – 3,6 = 6,4

Đáp án: AH = 4,8; BC = 10; BH = 3,6; CH = 6,4

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 6cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC.

Bài giải:

Đặt HC = x (x > 0) => BC = x + 9

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AC² = BC.HC

=> 6² = (x + 9). x

=> x² + 9x – 36 = 0

=> x² + 12x – 3x – 36 = 0

=> x(x + 12) – 3(x + 12) = 0

=> (x – 3)(x + 12) = 0

=> x = 3 (vì x > 0)

Vậy BC = BH + CH = 9 + 3 = 12cm

Đáp án: 12cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 12cm, BC = 20cm. Tính HC.

Bài giải:

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = HB.BC

=> HB = AB²/ BC = 12² / 20 = 7,2cm

=> HC = BC – HB = 20 – 7,2 = 12,8cm

Đáp án: 12,8cm

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 6cm, HB = 4cm. Tính BC.

Bài giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

• AH² = HB.HC => 6² = 4.HC => HC = 9cm
• BC = BH + HC = 4 + 9 = 13 (cm)

Đáp án: 13cm

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính AH.

Bài giải:

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

AH.BC = AB.AC

Theo định lý Pytago: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

=> AH = (AB.AC)/BC = (3.4)/5 = 2,4cm

Đáp án: 2,4cm

Bài 7: Cho ΔMNP vuông tại M, đường cao MH = 18cm. Biết HN : HP = 1 : 4. Tính độ dài cạnh huyền NP.

Bài giải:

Gọi HN = x (x > 0) thì HP = 4x

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

MH² = HN.HP

=> 18² = x.4x

=> 4x² = 324

=> x² = 81

=> x = 9 (cm)

=> HN = 9 cm và HP = 4x = 4.9 = 36 cm

Vậy NP = HN + HP = 9 + 36 = 45 cm

Đáp án: 45cm

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AC : AB = √2 và HC – HB = 2cm. Độ dài HC bằng:

Bài giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

• AC² = CH.BC
• AB² = BH.BC

=> (AC/AB)² = CH/BH

=> (√2 / 1)² = CH/BH

=> CH = 2BH

Mà HC – HB = 2cm

=> 2BH – BH = 2cm

=> BH = 2cm

=> CH = 2BH = 4cm

Đáp án: 4cm

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 2 : 3 và đường cao AH bằng 6cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng AC bằng:

Bài giải:

Gọi AB = 2x (x > 0) thì AC = 3x

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

AH² = BH.CH

Theo hệ thức lượng:

• AB² = BH.BC
• AC² = CH.BC

=> (AB/AC)² = BH/CH = (2/3)² = 4/9

=> BH = 4/9 CH

=> AH² = (4/9 CH).CH = 6²

=> CH = 9cm

=> AC = 3x = 3. (2/3)CH = 6cm

Đáp án: 6cm

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết HC = 3cm; HB = 1cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài giải:

Xét tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH:

• AH² = HB.HC( Hệ thức lượng trong tam giác)

=> AH = √(HB.HC) = √(1.3) = √3 cm

Diện tích tam giác ABC là:

S(ABC) = (1/2).AH.BC = (1/2).√3.(1+3) = 2√3 cm²

Đáp án: 2√3 cm²

D. Lời kết

Trên đây là những chia sẻ của tôi về cách tính cạnh tam giác vuông lớp 9. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi giải quyết các bài tập liên quan.

Hãy nhớ rằng, việc luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công. Chúc các bạn học tốt!

Nguồn: https://truongxaydunghcm.edu.vn/