Phương trình mặt cầu: lý thuyết & các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu

Phương trình hình cầu: Lý thuyết và các dạng bài tập để viết phương trình hình cầu

Phương trình mặt cầu là trọng tâm của môn toán lớp 12. Kiến thức này có thể được tìm thấy trong nhiều đề thi quan trọng. Để giúp quý thầy cô giáo và các em học sinh hiểu rõ hơn về chuyên đề này và có thêm nguồn tư liệu phục vụ quá trình giảng dạy, TP Sóc Trăng chia sẻ những bài viết dưới đây. Ở đây, ngoài phần lý thuyết, chúng tôi đề cập đến các dạng bài tập thường gặp hơn về viết phương trình mặt cầu. Làm ơn hãy hiểu!

Tôi. Lý thuyết hình cầu, phương trình hình cầu

1. Hình cầu là gì?

Bạn đang xem: Phương trình hình cầu: Lý thuyết và các dạng bài tập để viết phương trình hình cầu

Trong không gian, một hình cầu là quỹ đạo của các điểm cách đều và không đổi từ một điểm cho trước. Khoảng không đổi này được gọi là bán kính. Điểm đã cho được gọi là tâm của mặt cầu.

2. Các loại phương trình hình cầu

1.1 Phương trình chính quy

Trong không gian oxyz, tâm của mặt cầu s là i (a; b; c) và bán kính là r. Phương trình điển hình của (các) là:

(x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r2

2.2 Phương trình tổng quát

Nếu a2 + b2 + c2 – d> 0, thì phương trình sau đây là phương trình tổng quát của (các):

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)

Tọa độ tâm của (các) và công thức (1) là i (a; b; c) và bán kính của (s) được tính theo công thức:

r = a2 + b2 + c2 – d

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và hình cầu

Cho hình cầu: (x − a) 2 + (b − y) 2 + (c − z) 2 = r2, tâm i, bán kính r, đường thẳng Δ

Chúng ta có khoảng cách d từ hình cầu đến đường thẳng:

• d> r: Đường thẳng Δ không cắt (các) mặt cầu
• d = r: Đường thẳng Δ (s) là tiếp tuyến của mặt cầu
• d
• r: đường thẳng Δ và (các) hình cầu dọc theo hợp âm ab = √r2 – d2

4. Vị trí tương đối của mặt phẳng và hình cầu

Cho (các) mặt cầu: (x − a) 2 + (b − y) 2 + (c − z) 2 = r2, tâm i, bán kính r, mặt phẳng (p): ax + by + cz + d = 0 .

Chúng tôi có:

• d (i, (p))> r: Mặt phẳng (p) không cắt (các) mặt cầu.
• d (i, (p)) = r: mặt phẳng (p) tiếp tuyến với (các) mặt cầu.
• d (i, (p)) & lt; r: giao của mặt phẳng (p) và (các) mặt cầu là đường tròn tâm k là hình chiếu của i trên (p), bán kính r = √r2 − d2 (i, (p))

Hai. Các dạng bài tập viết phương trình thường dùng

Thực hành viết phương trình mặt cầu thường có dạng phổ biến sau đây. Đối với mỗi loại, chúng tôi đã chia sẻ các cách giải quyết và nhiều ví dụ để bạn hiểu.

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Điều kiện để phương trình khai triển là phương trình đường tròn

1. Giải pháp:

● Xét (các) phương trình: (x- a) 2 + (y- b) 2 + (z- c) 2 = r2.

Tâm của mặt cầu là i (a; b; c) và bán kính là r

● Xét phương trình: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Điều kiện để phương trình trên trở thành phương trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 – d> 0

Sau đó, hình cầu có

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 : Hình cầu: 3×2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 12y + 2 = 0, bán kính bằng:

Xem thêm: Bí quyết viết bài văn biểu cảm đúng và hay

Hướng dẫn Giải pháp:

Chúng ta có (các): 3×2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 12y +2 = 0

⇔ x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2/3 = 0

Đây là hình tròn có tâm i (1; -2; 0) và bán kính

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + y2 + z2 + 2 (3 – m) x – 2 (m + 1) y – 2mz + 2m2 + 7 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (s) là một phương trình mặt cầu.

Xem thêm: Bí quyết viết bài văn biểu cảm đúng và hay

Hướng dẫn Giải pháp:

Ta có: a = m – 3; b = m + 1; c = m và d = 2m2 + 7

Điều kiện để (các) trở thành hình cầu là a2 + b2 + c2 – d> 0

⇔ (m- 3) 2 + (m + 1) 2 + m2 – 2m2 – 7> 0 hoặc m2 – 4m + 3> 0

Chọn c.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Mặt cầu tâm i (-1; 2; -3) và tiếp tuyến với mặt phẳng (p): x + 2y + 2z + 6 = 0 có phương trình là:

A. (x- 1) 2 + (y + 2) 2 + (z- 3) 2 = 2 b. (x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 3) 2 = 4

c. (x + 1) 2 + (y -2) 2 + (z + 3) 2 = 1 d. (x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 3) 2 = 25

Xem thêm: Bí quyết viết bài văn biểu cảm đúng và hay

Hướng dẫn Giải pháp:

Khoảng cách từ tâm i đến mặt phẳng (p) là:

Vì (các) mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (p) nên d (i; (p)) = r = 1

Xem Thêm : Thư giới thiệu – Letter of Recommendation – American Study

Suy ra, phương trình tìm khối cầu là:

(x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 3) 2 = 1

Chọn c.

Ví dụ 2: Cho điểm a (-2; 4; 1); b (2; 0; 3) và đường thẳng Cho (s) là mặt cầu đi qua a; b và tâm của nó trên đường thẳng d. Bán kính hình cầu bằng:

A. 3√3 B. √6 c.3. d.2√3

Xem thêm: Bí quyết viết bài văn biểu cảm đúng và hay

Hướng dẫn Giải pháp:

Tâm i ∈d => i (1 + t; 1 + 2t; -2 + t).

= & gt; ai → (3 + t; -3 + 2t; -3 + t); bi → (-1 + t; 1 + 2t; -5 + t)

Vì (các) đi qua a và b, chúng ta có ia = ib => ia2 = ib2

⇔ (3+ t) 2 + (-3+ 2t) 2 + (-3+ t) 2 = (-1+ t) 2 + (1 + 2t) 2 + (- 5+ t) 2

⇔ 9+ 6t + t2 + 9 – 12t + 4t2 + 9 – 6t + t2 = 1- 2t + t2 + 1+ 4t + 4t2 + 25 – 10t + t2

⇔ 6t2 – 12t + 27 = 6t2 – 8t + 27

⇔ -4t = 0 nên t = 0

=> ai → (3; -3; -3) nên ai = 3√3

Vậy (các) bán kính của hình cầu là r = ai = 3√3

Chọn một.

Dạng 3: Tìm phương trình mặt cầu tiếp tuyến của đường thẳng và mặt phẳng, thỏa mãn điều kiện t

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm a (2; 5; 1) và mặt phẳng (p): 6x + 3y – 2z + 24 = 0, h là hình chiếu đứng của a trên mặt phẳng (p). Phương trình của (các) mặt cầu có diện tích và tiếp tuyến với mặt phẳng (p) tại h sao cho điểm a nằm trong mặt cầu:

A. (x- 8) 2 + (y- 8) 2 + (z + 1) 2 = 196 b. (x + 82 + (y + 8) 2 + (z – 1) 2 = 196

c. (x + 16) 2 + (y + 4) 2 + (z- 7) 2 = 196 d. (x-16) 2+ (y- 4) 2 + (z + 7) 2 = 196

Hướng dẫn Giải pháp:

Gọi d là đường thẳng đi qua a và vuông góc với (p). Suy ra, vtcp của d là:

Vì h là hình chiếu đứng của a trên (p) nên h = d ∩ (p).

Vì h ∈ d, h (2+ 6t; 5+ 3t; 1-2t.

Xem thêm: Danh sách 63 tỉnh thành Việt Nam mới nhất 03/2022 – BANKERVN

Mặt khác, h (p) nên chúng ta có:

6 (2+ 6t) + 3 (5+ 3t) – 2 (1- 2t) + 24 = 0

⇔ t = – 1

Do đó, h (-4; 2; 3).

Gọi i và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu.

Giả sử diện tích của hình cầu là 784π thì 4πr2 ⇔ r = 14.

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (p) tại h nên ih⊥ (p) => i sẽ.

Vậy tọa độ điểm i có dạng i (2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), trong đó t ≠ -1.

Theo giả thiết, tọa độ của điểm tôi thỏa mãn:

Dạng 4: Viết (các) mặt cầu đi qua 3 điểm a, b, c, có tâm nằm trong mặt phẳng (p) cho trước.

1. Giải pháp:

Phương pháp 1:

• Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*) (trong đó a2 + b2 + c2 – d> 0)
• Bước 2: Thay toạ độ của bốn điểm a, b, c, d vào phương trình (*) ta được 4 phương trình.
• Bước 3: Giải các phương trình trên để tìm a, b, c, d (chú ý điều kiện a2 + b2 + c2 – d> 0). Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu mong muốn.

Phương pháp 2:

Bước 1: Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Suy ra:

Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c.

Bước 3: Tìm bán kính r = ia. Từ đó, viết phương trình mặt cầu mong muốn dưới dạng (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r2

2. Ví dụ minh họa: Nếu mặt cầu đi qua bốn điểm m (2; 2,2); n (4; 0; 2); p (4; 2; 0) và q (4; 2; 2) thì tâm i của (các) có tọa độ:

A. (-1; -1; 0) b. (3; 1; 1) c. (1; 1; 1) d. (1; 2, 1)

Hướng dẫn Giải pháp:

Gọi phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d> 0).

Do m (2; 2; 2) ∈ (s) 22 + 22 + 22 – 2.2a- 2.2b – 2.2c + d = 0 hoặc – 4a – 4b – 4c + d = -12 (1)

Do n (4; 0; 2) ∈ (s) nên 42 + 02 + 22 – 2.4a – 2.0b – 2.2c + d = 0 hoặc – 8a – 4c + d = – 20 (2)

p>

Vì p (4; 2; 0) (s) nên 42 + 22 + 02 – 2.4a – 2.2b – 2.0.c + d = 0 hoặc – 8a – 4b + d = -20 (3)

Vì q (4; 2; 2) (s) nên 42 + 22 + 22 – 2,4 a -2,2b – 2,2c + d = 0 hoặc – 8a – 4b – 4c + d = -24 (4)

Từ (1); (2); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

Xem Thêm : Cách viết chữ v thường và hoa dành cho người mới tập viết

Suy ra tâm của (các) mặt cầu là i (1; 2; 1). Chọn câu trả lời a

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước ab

1. Cách giải quyết :

• Tìm trung điểm của ab. Vì ab là đường kính nên i là tâm của ab và là tâm của mặt cầu.
• Tính độ dài ia = r.
• Chuyển sang Câu hỏi 1.
• Tính độ dài ia = r.
• li>

2. Ví dụ minh họa : Cho hai điểm a (-2; 1; 0) và b (2; 3; -2). Phương trình của mặt cầu có đường kính ab là:

A. (x + 2) 2 + (y -1) 2 + (z + 1) 2 = 8; b. x2 + (y +2) 2 + (z- 1) 2 = 10

c. x2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 6; d. (x – 2) 2 + (y +1) 2 + (z -1) 2 = 8

Giải thích:

Gọi m là trung điểm của ab và tọa độ của điểm m là:

Mặt cầu cần tìm có tâm tại m (0; 2; -1) và có bán kính là r = ma = √6.

Ta có phương trình mặt cầu: (x – 0) 2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 6 hoặc x2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 6

p>

Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu có tâm là i và đường thẳng cắt mặt cầu thỏa mãn điều kiện t.

1. Giải pháp

Xem thêm: Top 5 cách viết chữ đẹp và nhanh vô cùng hiệu quả

* Phương trình mặt cầu biết tâm i và cắt đường thẳng d dọc theo hợp âm ab

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm i đến đường thẳng d

• Bước 2: Dựa trên các giả thiết đã cho, ta tính độ dài hợp âm ab. Suy ra độ dài ah (với h là trung điểm của ab)

• Bước 3: Tính ia của tam giác vuông aih theo định lý pitago. Suy ra bán kính r = ia.

* (Các) phương trình mặt cầu biết tâm i và cắt mặt phẳng (p) dọc theo đường tròn giao nhau (c)

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm i đến mặt phẳng (p)

• Bước 2: Dựa vào giả thiết đã cho, ta tính bán kính r của đường tròn cắt nhau. Suy ra bán kính của mặt cầu

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (p): 5x – 4y + z – 6 = 0; (q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng. Viết mặt cầu Phương trình của (s) với tâm i là giao điểm của (p) và Δ sao cho (q) cắt (s) trong một đường tròn có diện tích 20π.

a. (x-1) 2 + y2 + (z + 1) 2 = 110/3. b. (x-1) 2 + y2 + (z-1) 2 = 110/3

c. (x- 1) 2 + y2 + (z- 1) 2 = 110/3. d. (x – 1) 2 + y2 + (z – 1) 2 = 110.

Xem thêm: Bí quyết viết bài văn biểu cảm đúng và hay

Hướng dẫn Giải pháp:

Phương trình tham số của đường:

Vì tâm i là giao điểm của đường thẳng Δ và (p) nên tọa độ i là nghiệm của hệ phương trình:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5 (1 + 7t) – 4. 3t + (1 – 2t) – 6 = 0

⇔ 21t = 0 ⇔ t = 0

Khi đó, tọa độ điểm i (1; 0; 1).

Khoảng cách từ điểm i đến mặt phẳng (q) là:

Gọi r là bán kính của đường tròn trong đó (s) cắt mặt phẳng (q). Chúng tôi có:

20π = r2 ⇔ r = 2√5

Gọi r là bán kính của hình cầu cần tìm.

Giả định:

Vậy phương trình của (các) mặt cầu cần tìm là: (x- 1) 2 + y2 + (z-1) 2 = 110/3

Chọn b.

Ví dụ 2: Trong không gian của hệ tọa độ oxyz, cho hai điểm a (0; -1; 0); b (1; 1; -1) và (các) mặt cầu: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. Mặt phẳng (p) đi qua a, b và cắt (các) mặt cầu là đường tròn có bán kính lớn nhất và phương trình của nó là

A. x – 2y + 3z – 2 = 0. x – 2y – 3z – 2 = 0.

c. x + 2y – 3z – 6 = 0 ngày. 2x – y – 2 = 0.

Xem thêm: Bí quyết viết bài văn biểu cảm đúng và hay

Hướng dẫn Giải pháp:

Để (p) cắt (s) dọc theo giao của đường tròn có bán kính lớn nhất thì (p) phải đi qua tâm i (1; -2; 1) của (s).

Chúng ta có ai → (1; -1; 1); Double → (0; -3; 2)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (p) là:

n → = [ai →; bi →] = (1; -2; -3).

Mặt phẳng (p) đi qua a (0; -1; 0) và vectơ định hướng n → (1; -2; -3) được sử dụng làm vtpt, do đó có phương trình:

1 (x- 0) – 2 (y + 1) – 3 (z- 0) = 0 hoặc x- 2y – 3z – 2 = 0

Chọn b.

Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu tới quý vị và các bạn về Phương trình mặt cầu: Lý thuyết và các dạng bài tập để viết phương trình mặt cầu. Hi vọng đây là nguồn tài liệu hữu ích giúp bạn dạy và học tốt hơn. Bảng công thức tam giác cũng đã được chia sẻ với chúng tôi, hãy tìm hiểu thêm!

Nhà xuất bản: thpt Sóc Trăng