Phương Trình Bậc Hai và Định Lý Vi-ét: Ứng Dụng Và Bài Tập

Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét là những kiến thức nền tảng của đại số, được ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán. Nắm vững phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề.

Chuyên đề này được xây dựng nhằm mục đích giúp học sinh:

Nắm vững: Định nghĩa, cách giải phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét.
Vận dụng thành thạo: Hệ thức Vi-ét vào giải các dạng bài tập liên quan.
Nâng cao: Khả năng nhận dạng, phân loại bài tập và áp dụng phương pháp giải phù hợp.
Kích thích: Niềm ham học toán và hứng thú giải toán.

Phần Nội Dung

I. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn

1.1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

ax² + bx + c = 0

Trong đó:

x là ẩn
a, b, c là các hệ số (a ≠ 0)

1.2. Giải Phương Trình Bậc Hai

Trường hợp 1: Phương trình bậc hai khuyết:
- Khuyết c (c = 0): ax² + bx = 0
  - Giải: x(ax + b) = 0 => x = 0 hoặc x = -b/a (a ≠ 0)
- Khuyết b (b = 0): ax² + c = 0
  - Giải: x² = -c/a (*)
    - Điều kiện để phương trình có nghiệm: -c/a ≥ 0
Trường hợp 2: Phương trình bậc hai đầy đủ:
- a. Công thức nghiệm:
  - Phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
  - Biệt thức: Δ = b² – 4ac
  - Nghiệm:
    - Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b/(2a)
    - Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x₁ = (-b + √Δ)/(2a) và x₂ = (-b – √Δ)/(2a)
    - Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
- b. Công thức nghiệm thu gọn:
  - Phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’
  - Biệt thức: Δ’ = b’² – ac
  - Nghiệm:
    - Δ’ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ = -b’/a
    - Δ’ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x₁ = (-b’ + √Δ’)/a và x₂ = (-b’ – √Δ’)/a
    - Δ’ < 0: Phương trình vô nghiệm.

2. Hệ Thức Vi-ét và Ứng Dụng

2.1. Hệ thức Vi-ét

Định lý Vi-ét:

Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

x₁ + x₂ = -b/a
x₁.x₂ = c/a

Lưu ý: Định lý Vi-ét chỉ áp dụng khi phương trình bậc hai có nghiệm (a ≠ 0, Δ ≥ 0).

2.2. Ứng Dụng Của Hệ Thức Vi-ét:

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Nếu a + b + c = 0 thì x₁ = 1; x₂ = c/a
- Nếu a – b + c = 0 thì x₁ = -1; x₂ = -c/a
Ứng dụng 2: Tìm hai số khi biết tổng (S) và tích (P)
- Hai số x₁, x₂ có tổng S và tích P là nghiệm (nếu có) của phương trình: x² – Sx + P = 0
- Điều kiện tồn tại hai nghiệm x₁, x₂: S² ≥ 4P
Ứng dụng 3: Xét dấu các nghiệm x₁, x₂
- Hai nghiệm trái dấu: x₁.x₂ < 0
- Hai nghiệm cùng dấu: x₁.x₂ > 0
  - Hai nghiệm dương: x₁.x₂ > 0 và x₁ + x₂ > 0
  - Hai nghiệm âm: x₁.x₂ > 0 và x₁ + x₂ < 0
Ứng dụng 4: Tính giá trị biểu thức đối xứng (không cần tính x₁, x₂)
- x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂
- x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂(x₁ + x₂)
- x₁ – x₂ = ±√[(x₁ + x₂)² – 4x₁x₂]
- 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂)
- (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂
- x₁⁴ + x₂⁴ = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂]² – 2(x₁x₂)²
- (x₁ – a)(x₂ – a) = x₁x₂ – a(x₁ + x₂) + a²
- (x₁ + x₂ – 2a)/(x₁ – a)(x₂ – a) = 1/(x₁ – a) + 1/(x₂ – a)

II. Một Số Dạng Bài Tập Thường Gặp

1. Đối Với Phương Trình Bậc Hai

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn

Quy trình giải:
- Phương trình khuyết b hoặc c: Giải theo cách riêng.
- Phương trình bậc hai đầy đủ:
  - Ưu tiên nhẩm nghiệm (hệ quả định lý Vi-ét).
  - Hệ số b chẵn: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn.
  - Hệ số b lẻ: Sử dụng công thức nghiệm.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 2x² + 6x = 0
b) 3x² + 5x – 2 = 0
c) x² + 4x – 1 = 0
d) 5x² – 6x + 1 = 0
e) 2x² + 5x + 3 = 0

Hướng dẫn giải:

a) x(2x + 6) = 0 => x = 0 hoặc x = -3

b) Δ = 5² – 4.3.(-2) = 49 > 0

x₁ = (-5 + √49)/(2.3) = 1/3
x₂ = (-5 – √49)/(2.3) = -2

c) Δ’ = 2² – 1.(-1) = 5 > 0

x₁ = (-2 + √5)/1 = -2 + √5
x₂ = (-2 – √5)/1 = -2 – √5

d) a + b + c = 5 – 6 + 1 = 0

x₁ = 1
x₂ = c/a = 1/5

e) a – b + c = 2 – 5 + 3 = 0

x₁ = -1
x₂ = -c/a = -3/2

Dạng 2: Giải phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn

1. Giải phương trình trùng phương:

Dạng: ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải:
- Bước 1: Đặt t = x² (t ≥ 0) => Phương trình bậc hai: at² + bt + c = 0 (a ≠ 0)
- Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t => Nghiệm của phương trình trùng phương.

Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình:
- a) x⁴ + 5x² – 6 = 0
- b) (x + 1)⁴ – 5(x + 1)² – 84 = 0
Giải các phương trình:
- a) 2x⁴ + 7x² + 5 = 0
- b) 4x⁴ + 8x² – 12 = 0

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:

Phương pháp giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn.
- Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.
- Bước 3: Giải phương trình bậc hai nhận được.
- Bước 4: So sánh nghiệm với điều kiện xác định và kết luận.

Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình:
- a) (2x – 5)/(x – 1) = 3x/(x – 2)
- b) (x + 5)/(x – 3) – 35/(3x – 9) + 5/(x + 3) = 0
- c) [(1 + x)/(1 – x) – 1] : [(1 + x)/(1 – x) + 1] = (1 – x)/(1 + x) : (1 – x)/(1 + x) / (4 – x²)
Giải các phương trình:
- a) (2x – 1)/(x + 1) + (3x – 1)/(x + 5) = (x – 7)/(x – 1) + 3
- b) 1/(x² – 3x + 5) + 2/(x – 1) = 1/(x + 5)
- c) 5/[2x(x – 3)] + 2/(2x – 2) = 1/(x – 3) – 5/[2(x + 6)]

3. Phương trình đưa về dạng tích:

Phương pháp giải:
- Bước 1: Chuyển vế, phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
- Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình:
- a) x³ – 3x² – 3x – 4 = 0
- b) (x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ – (x + 2)³ = 0
Giải các phương trình:
- a) 2x³ – 7x² + 4x + 1 = 0
- b) (x² + 2x – 5)² = (x² – x + 5)²

Dạng 3: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có).
- Bước 2: Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) và giải phương trình theo ẩn mới.
- Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác định, kết luận.

Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình:
- a) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8
- b) (x² + 16x + 60)(x² + 17x + 60) = 6x²
- c) (2x – 2)/(3x – x + 2) – 2 = 1/(3x + 5x + 2)
Giải các phương trình:
- a) (x² – 3x)² – 6(x² – 3x) – 7 = 0
- b) x⁶ + 61x³ – 8000 = 0
- c) x¹⁰/(x + 1) + (x + 1)¹⁰/x = 3

Dạng 4: Phương trình chứa biểu thức trong dấu căn:

Phương pháp giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế.
Chú ý: √A = B <=> B ≥ 0 và A = B²

Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình:
- a) √(x – 6) + √(x + 9) = 3 – √x
- b) √(x² + x + 1) = 3 – √x
Giải các phương trình:
- a) x² – 3x + 2 = (1 – x)√(3x – 2)
- b) √(x – 1) + 7√(x + 1) = 14√(x – 6)

Dạng 5: Phương trình bậc hai một ẩn chứa tham số m

1. Chứng minh phương trình có nghiệm:

Phương pháp:
- Bước 1: Tính Δ hoặc Δ’
- Bước 2: Chứng minh:
  - Δ > 0 (hoặc Δ’ > 0): Hai nghiệm phân biệt
  - Δ ≥ 0 (hoặc Δ’ ≥ 0): Có nghiệm (có hai nghiệm).
  - Δ = 0 (hoặc Δ’ = 0): Nghiệm kép.
  - Δ < 0 (hoặc Δ’ < 0): Vô nghiệm.
- Bước 3: Kết luận.

Lưu ý: Biến đổi Δ hoặc Δ’ về dạng (A ± B)² hoặc (A ± B)² + k (k > 0).

Ví dụ 1: Phương trình: x² + 2x – m² – 1 = 0 (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Δ’ = 1² – 1.(-m² – 1) = m² + 2 > 0, ∀m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ví dụ 2: Phương trình: x² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Δ = [-2(m – 1)]² – 4.1.(m – 3) = 4m² – 12m + 16 = (2m – 3)² + 7 > 0, ∀m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ví dụ 3: Phương trình: x² + 4mx – 4m – 1 = 0 (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Δ’ = (2m)² – 1.(-4m – 1) = 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)² ≥ 0, ∀m

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm:

Phương pháp:
- Bước 1: Tính Δ hoặc Δ’.
- Bước 2: Căn cứ yêu cầu đề bài để suy ra điều kiện của Δ hoặc Δ’.
  - Hai nghiệm phân biệt: Δ > 0 (hoặc Δ’ > 0)
  - Nghiệm kép: Δ = 0 (hoặc Δ’ = 0)
  - Có nghiệm (có hai nghiệm): Δ ≥ 0 (hoặc Δ’ ≥ 0)
  - Vô nghiệm: Δ < 0 (hoặc Δ’ < 0)
- Trường hợp đặc biệt: Nếu a.c < 0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số.
- Bước 3: Kết luận.

Lưu ý:

Xét trường hợp a = 0 khi hệ số a chứa tham số.
Tìm điều kiện để phương trình là phương trình bậc hai (a ≠ 0).

Ví dụ 1: Phương trình: x² – 2(2m – 1)x + 8(m – 1) = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Hướng dẫn giải:

Δ’ = (2m – 1)² – 1.8(m – 1) = 4m² – 12m + 9 = (2m – 3)²

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0 <=> (2m – 3)² > 0 <=> m ≠ 3/2

Vậy với m ≠ 3/2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Phương trình: x² + mx + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tính nghiệm kép đó.

Hướng dẫn giải:

Δ = m² – 4

Phương trình có nghiệm kép khi Δ = 0 <=> m² – 4 = 0 <=> m = ±2

m = -2: x₁ = x₂ = -b/(2a) = -(-2)/(2.1) = 1
m = 2: x₁ = x₂ = -b/(2a) = -2/(2.1) = -1

Ví dụ 3: Phương trình: 3x² + 2mx + 4 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

Hướng dẫn giải:

Δ’ = m² – 3.4 = m² – 12

Phương trình có nghiệm khi Δ’ ≥ 0 <=> m² – 12 ≥ 0 <=> m ≥ 2√3 hoặc m ≤ -2√3

Vậy với m ≥ 2√3 hoặc m ≤ -2√3 thì phương trình có nghiệm.

3. Một số dạng khác

Ngoài các phương pháp trên, ta còn sử dụng các phương pháp:

Hằng đẳng thức
Thêm bớt hạng tử
Đánh giá hai vế

Bài tập áp dụng:

Giải các phương trình bằng phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức:
- a) x⁴ = 24x + 32
- b) x³ = -3x² + 3x – 1
- c) x⁴ – x² + 2x – 1 = 0
Giải các phương trình bằng phương pháp đánh giá:
- a) 1 – √x + x = 1
- b) 4x² – 4x + 5 + 12√(x² – x + 3) = 2
Giải các phương trình:
- a) 4x² – 4x – 6|2x – 1| + 6 = 0
- b) x² + 2√(5x²) = 11(x + 5)²

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình: (m – 3)x² + 4mx + 4m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

a) Thay m = 2 vào phương trình, ta có: -x² + 8x + 9 = 0.

Giải phương trình, ta được: x = -1 hoặc x = 9

b) Δ’ = (2m)² – (m – 3)(4m + 1) = 11m + 3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:
- a ≠ 0 <=> m – 3 ≠ 0 <=> m ≠ 3
- Δ’ > 0 <=> 11m + 3 > 0 <=> m > -3/11
Vậy với m > -3/11 và m ≠ 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 2: Cho phương trình: (m – 1)x² – 2mx + m + 3 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình với m = -1.
b) Tìm m để phương trình chỉ có một nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Với m = 1, phương trình trở thành: -2x + 4 = 0 <=> x = 2
Với m ≠ 1:
- Δ’ = (-m)² – (m – 1)(m + 3) = -2m + 3
- Phương trình chỉ có một nghiệm khi phương trình có nghiệm kép <=> Δ’ = 0 <=> -2m + 3 = 0 <=> m = 3/2
Vậy với m = 1 hoặc m = 3/2 thì phương trình đã cho chỉ có một nghiệm.

Bài 3: Cho phương trình: mx² – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất?

Hướng dẫn giải:

Δ’ = [-(m – 1)]² – m(m + 1) = -3m + 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:
- a ≠ 0 <=> m ≠ 0
- Δ’ > 0 <=> -3m + 1 > 0 <=> m < 1/3
Vậy với m < 1/3 và m ≠ 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Nếu m = 0, phương trình trở thành: 2x + 1 = 0 <=> x = -1/2
Nếu m ≠ 0:
- Phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình có nghiệm kép <=> Δ’ = 0 <=> -3m + 1 = 0 <=> m = 1/3
Vậy nếu m = 0 hoặc m = 1/3 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 4: Cho phương trình: x² + 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình với m = -5.
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

a) Thay m = -5 vào phương trình, ta có: x² – 8x – 9 = 0

Giải phương trình, ta được: x = -1 hoặc x = 9.

b) Δ’ = (m + 1)² – 1.(m – 4) = m² + 3m + 5 = (m + 3/2)² + 11/4 > 0, ∀m

Vậy không có giá trị m để phương trình vô nghiệm.

Tổng hợp các bài tập liên quan đến hệ thức Vi-ét trong tuyển sinh 10 tỉnh Long An qua các năm:

Bài 1: Cho phương trình: x² + 2mx + m² – m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó với m vừa tìm được. (TS 10 Long An năm 2012-2013)
Bài 2: Cho phương trình: x² – 2(m – 3)x + m² + 3 = 0 (với x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. (TS 10 Long An năm 2018-2019)
Bài 3: Cho phương trình: x² – 6x + m = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. (TS 10 Long An năm 2019-2020)

2. Hệ Thức Vi-ét Và Ứng Dụng

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có một nghiệm x = a, tìm nghiệm còn lại

Ví dụ 1:

a) Phương trình: x² – 2px + 5 = 0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình: x² + 5x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

Hướng dẫn giải:

Thay x₁ = 2 vào phương trình ban đầu, ta được: 4 – 4p + 5 = 0 <=> p = 9/4
Từ x₁.x₂ = 5 => x₂ = 5/x₁ = 5/2

Thay x₁ = 5 vào phương trình ban đầu, ta được: 25 + 25 + q = 0 <=> q = -50
Từ x₁.x₂ = -50 => x₂ = -50/x₁ = -50/5 = -10

Ví dụ 2: Cho phương trình: (m – 1)x² + 2x – 3 = 0 (1) (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 2. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có).

Hướng dẫn giải:

Do phương trình (1) có nghiệm x₁ = 2 nên ta có: (m – 1).2² + 2.2 – 3 = 0 <=> 4m – 3 = 0 <=> m = 3/4
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m – 1 = 3/4 – 1 = -1/4 ≠ 0)
Theo định lí Vi-ét, ta có: x₁.x₂ = -3/(m – 1) = -3/(-1/4) = 12 => x₂ = 12/x₁ = 12/2 = 6
Vậy m = 3/4 và nghiệm còn lại là x₂ = 6.

Dạng 2: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức chứa hai nghiệm của phương trình

Phương pháp:
- Bước 1: Chứng minh phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Tính tổng, tích hai nghiệm theo định lí Vi-ét.
- Bước 3: Biến đổi biểu thức chứa hai nghiệm thành biểu thức chứa tổng và tích hai nghiệm.
- Bước 4: Thay tổng, tích hai nghiệm vào biểu thức và tính giá trị.

Ví dụ: Cho phương trình: x² + 7x + 5 = 0 (1)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.
Không giải phương trình (1), hãy tính giá trị các biểu thức:
- a) A = x₁² + x₂²
- b) B = x₁³ + x₂³
- c) C = x₁⁴ + x₂⁴
- d) D = |x₁ – x₂|
- e) E = (3x₁)/(x₂) + (3x₂)/(x₁)

Hướng dẫn giải:

Δ = 7² – 4.1.5 = 29 > 0 => Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂.
Theo định lí Vi-ét, ta có:
- x₁ + x₂ = -7
- x₁.x₂ = 5

Do đó:

a) A = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = (-7)² – 2.5 = 39
b) B = x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² – x₁x₂ + x₂²) = (-7)(39 – 5) = -238
c) C = x₁⁴ + x₂⁴ = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂]² – 2(x₁x₂)² = (39² – 2.5)² – 2.5² = 1471
d) (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = (-7)² – 4.5 = 29 => D = |x₁ – x₂| = √29
e) E = (3x₁)/(x₂) + (3x₂)/(x₁) = [3(x₁² + x₂²)]/(x₁x₂) = (3.39)/5 = 117/5

Bài tập vận dụng dạng 1 và dạng 2:

Bài 1: Cho phương trình: x² + 7x – 3 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x₁, x₂.
b) Không giải phương trình (1). Tính giá trị các biểu thức sau:
- A = x₁² + x₂²
- B = x₁³ + x₂³
- C = (3x₁ – x₂)(3x₂ – x₁)
- D = |x₁/x₂| + |x₂/x₁|

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình (1) có x₁.x₂ = -3 < 0 => Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu x₁, x₂.

b) Theo định lí Vi-ét:

x₁ + x₂ = -7
x₁.x₂ = -3

Khi đó:

A = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = (-7)² – 2(-3) = 55
B = x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² – x₁x₂ + x₂²) = (-7)[(-7)² – 3(-3)] = -406
C = (3x₁ – x₂)(3x₂ – x₁) = 10x₁x₂ – 9(x₁² + x₂²) = 10.(-3) – 9.55 = -525
D = |x₁/x₂| + |x₂/x₁| = (|x₁|² + |x₂|²)/|x₁x₂| = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂]/|x₁x₂| = [(-7)² – 2(-3)]/3 = 55/3

Bài 2: Cho phương trình: x² + 3x – 5 = 0 có 2 nghiệm là x₁ và x₂. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = 1/x₁ + 1/x₂
B = x₁² + x₂²
C = x₁²/x₂² + x₂²/x₁²
D = x₁³ + x₂³

Hướng dẫn giải:

Do phương trình có 2 nghiệm là x₁ và x₂ nên theo định lí Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = -3
x₁.x₂ = -5
A = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (-3)/(-5) = 3/5
B = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = (-3)² – 2.(-5) = 19
C = (x₁⁴ + x₂⁴)/(x₁²x₂²) = [(x₁² + x₂²)² – 2x₁²x₂²]/(x₁²x₂²) = [(19)² – 2.(-5)²]/(-5)² = 311/25
D = (x₁ + x₂)((x₁ + x₂)² – 3x₁x₂) = -3[(-3)² – 3(-5)] = -72

Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x² – 2(m – 1)x + m² = 0 (x là ẩn số, m là tham số) (1).

3.1. Tìm m để:
- a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
- b) Phương trình (1) có một nghiệm là -2.
3.2. Giả sử x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng: (x₁ – x₂)² + 4(x₁ + x₂) + 4 = 0.

Đáp án:

3.1.

a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0 <=> 1 – m² > 0 <=> -1 < m < 1.
b) Phương trình (1) có một nghiệm là -2 khi: (-2)² – 2(m – 1)(-2) + m² = 0 <=> m² + 4m = 0 <=> m = 0 hoặc m = -4.

3.2. Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (1):

x₁ + x₂ = 2(m – 1)
x₁.x₂ = m²

Ta có: (x₁ – x₂)² + 4(x₁ + x₂) + 4 = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ + 4(x₁ + x₂) + 4
= [2(m – 1)]² – 4m² + 4[2(m – 1)] + 4
= 0
Vậy (x₁ – x₂)² + 4(x₁ + x₂) + 4 = 0.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

1. Đối với biểu thức đối xứng:

Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm (2 nghiệm phân biệt).
- Bước 2: Áp dụng định lí Vi

Phương Trình Bậc Hai và Định Lý Vi-ét: Ứng Dụng Và Bài Tập

Phần Nội Dung

I. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn

2. Hệ Thức Vi-ét và Ứng Dụng

II. Một Số Dạng Bài Tập Thường Gặp

1. Đối Với Phương Trình Bậc Hai

2. Hệ Thức Vi-ét Và Ứng Dụng

Có thể bạn quan tâm

Giáo Sư Biết Tuốt