[Vted.vn] – Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted

bài viết này tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt thường gặp

cũng trình bày công thức tổng quát để tính thể tích của tứ diện bất kỳ với độ dài của 6 cạnh của tứ diện. Học thuộc các công thức này giúp các em giải nhanh một số bài toán khó về thể tích khối tứ diện trong Đề thi thử THPT Quốc gia 2019 môn Toán.

Bài viết này tóm tắt một số công thức nhanh và thường được sử dụng cho tứ diện. các công thức giải nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích lăng trụ, mời các bạn xem key tổng hợp x được vted đăng tải tại đây: https://www.vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt – quoc-gia-2020-mon-toan-name-for-teen-2k2-9

& gt; & gt; xem thể tích tứ diện và các trường hợp đặc biệt

& gt; & gt; xem thêm bài giảng và đề thi về ứng dụng dung lượng lớn

& gt; & gt; xem thêm phần tóm tắt lý thuyết và hình nón – trụ – cầu

công thức chung: tứ diện $ abcd $ có $ bc = a, ca = b, ab = c, ad = d, bd = e, cd = f $ chúng ta có công thức cho thể tích của một tứ diện lục giác như sau: [v = dfrac {1} {12} sqrt {m + n + p-q}, ] where [ begin {align} & amp; m = {{a} ^ {2}} {{d} ^ {2}} ({{b} ^ {2}} + {{e} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} + {{f} ^ {2}} – {{a} ^ {2}} – {{d} ^ {2}}) \ & amp; n = {{b} ^ {2}} {{e} ^ {2}} ({{a} ^ {2}} + {{d} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} + {{f} ^ {2}} – {{b} ^ {2}} – {{e} ^ {2}}) \ & amp; p = {{c} ^ {2}} {{f} ^ {2}} ({{a} ^ {2}} + {{d} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} + {{e} ^ {2}} – {{c} ^ {2}} – {{f} ^ {2}}) \ & amp; q = {{(abc)} ^ {2}} + {{(aef)} ^ {2}} + {{(bdf)} ^ {2}} + {{(cde)} ^ {2}} end {align} ]

công thức 1: tứ diện đều

tứ diện đều cạnh $ a, $ ta có $ v = dfrac {{{a} ^ {3}} sqrt {2}} {12}. $

ví dụ 1: cho một tứ diện có chiều cao bằng [h ]. thể tích của tứ diện đã cho là

a. [v = frac { sqrt {3} {{h} ^ {3}}} {4} ] .

b. [v = frac { sqrt {3} {{h} ^ {3}}} {8} ] .

c. [v = frac { sqrt {3} {{h} ^ {3}}} {3} ] .

d. [v = frac {2 sqrt {3} {{h} ^ {3}}} {3} ] .

giải thưởng. Thể tích của một tứ diện đều cạnh $ a $ là $ v = frac { sqrt {2} {{a} ^ {3}}} {12}. $

chiều cao của tứ diện là $ h = frac {3v} {s} = frac {3 left ( frac { sqrt {2} {{a} ^ {3}}} {12} right)} { frac { sqrt {3} {{a} ^ {2}}} {4}} = sqrt { frac {2} {3}} a rightarrow a = sqrt { frac { 3} {2}} giờ $

sau đó $ v = frac { sqrt {2}} {12} {{ left ( sqrt { frac {3} {2}} h right)} ^ {3}} = frac { sqrt {3} {{h} ^ {3}}} {8}. $ chọn câu trả lời b.

công thức 2: tứ diện vuông (các góc ở đỉnh của tứ diện là góc vuông)

cho tứ diện $ abcd $ với $ ab, ac, ad $ nhân đôi một trực giao và $ ab = a, ac = b, ad = c, $ chúng ta có $ v = dfrac {1} {6} abc. $

công thức 3: tứ diện gần bằng nhau (các cặp cạnh đối diện tương ứng bằng nhau)

cho tứ diện $ abcd $ với $ ab = cd = a, bc = ad = b, ac = bd = c $ chúng ta có [v = dfrac { sqrt {2}} {12}. sqrt {({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} – {{c} ^ {2}}) ({{b} ^ {2}} + {{c} ^ {2 }} – {{a} ^ {2}}) ({{a} ^ {2}} + {{c} ^ {2}} – {{b} ^ {2}})}. ]

ví dụ 1: cho một tứ diện $ abcd $ với $ ab = cd = 8, ad = bc = 5 $ và $ ac = bd = 7. $ đã cho thể tích tứ diện bằng nhau

a. $ frac { sqrt {30}} {3}. $

b. $ frac {20 sqrt {11}} {3}. $

c. $ sqrt {30}. $

d. $ 20 sqrt {11}. $

giải thưởng. chúng tôi có $ {{v} _ {abcd}} = frac { sqrt {2}} {12} sqrt {({{8} ^ {2}} + {{5} ^ {2 }} – {{7} ^ {2}}) ({{5} ^ {2}} + {{7} ^ {2}} – {{8} ^ {2}}) ({{7} ^ {2}} + {{8} ^ {2}} – {{5} ^ {2}})} = frac {20 sqrt {11}} {3}. $ Chọn câu trả lời b.

ví dụ 2: cho tứ diện $ abcd $ với $ ab = cd = 8, ad = bc = 5 $ và $ ac = bd = 7. $ đặt $ m $ là cạnh của điểm có nghĩa là $ ab. $ khoảng cách từ điểm $ a $ đến mặt phẳng $ (cmd) $ bằng

a. $ frac { sqrt {31}} {2}. $

b. $ frac { sqrt {55}} {2}. $

c. $ frac { sqrt {21}} {2}. $

d. $ frac { sqrt {33}} {2}. $

giải thưởng. chúng tôi có $ {{v} _ {amcd}} = frac {am} {ab} {{v} _ {abcd}} = frac {1} {2} {{v} _ {abcd }} = frac { căn bậc hai {2}} {24} căn bậc hai {({{8} ^ {2}} + {{5} ^ {2}} – {{7} ^ {2}} ) ({{5} ^ {2}} + {{7} ^ {2}} – {{8} ^ {2}}) ({{7} ^ {2}} + {{8} ^ {2 }} – {{5} ^ {2}})} = frac {10 sqrt {11}} {3}. $

tam giác $ mcd $ có $ cd = 8 $ và theo công thức trung vị, chúng ta có:

$ mc = sqrt { frac {2 (c {{a} ^ {2}} + c {{b} ^ {2}}) – a {{b} ^ {2}}} {4 }} = sqrt { frac {2 ({{7} ^ {2}} + {{5} ^ {2}}) – {{8} ^ {2}}} {4}} = sqrt { 21}. $

y $ md = sqrt { frac {2 (d {{a} ^ {2}} + d {{b} ^ {2}}) – a {{b} ^ {2}}} { 4}} = căn bậc hai { frac {2 ({{5} ^ {2}} + {{7} ^ {2}}) – {{8} ^ {2}}} {4}} = căn bậc hai {21}. $

sau đó $ {{s} _ {mcd}} = 4 sqrt {5}. $ do đó $ d (a, (mcd)) = frac {3 {{v} _ {amcd}}} {{ {s} _ {mcd}}} = frac {10 sqrt {11}} {4 sqrt {5}} = frac { sqrt {55}} {2}. $ chọn câu trả lời b.

ví dụ 3: tứ diện $ abcd $ với $ ab = cd = 5a, ac = bd = 6a, ad = bc = 7a $ có thể tích

a. $ sqrt {95} {{a} ^ {3}}. $

b. $ 8 sqrt {95} {{a} ^ {3}}. $

c. $ 2 sqrt {95} {{a} ^ {3}}. $

d. $ 4 sqrt {95} {{a} ^ {3}}. $

Xem thêm: Công Thức Liên Hệ Giữa Nồng Độ Molan Là Gì ? Công Thức Tính Nồng Độ Molan Là Gì

giải thưởng. áp dụng công thức tính thể tích của khối tứ diện đều

$ {{v} _ {abcd}} = dfrac { sqrt {2}} {12} sqrt { left ({{5} ^ {2}} + {{6} ^ {2} } – {{7} ^ {2}} right) left ({{6} ^ {2}} + {{7} ^ {2}} – {{5} ^ {2}} right) left ({{7} ^ {2}} + {{5} ^ {2}} – {{6} ^ {2}} right)} {{a} ^ {3}} = 2 sqrt {95 {{a} ^ {3}}. $

chọn câu trả lời c.

xem thêm tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va -cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

công thức 4: tứ diện với khoảng cách và góc giữa các cặp cạnh đối diện của tứ diện

tứ diện $ abcd $ có $ ad = a, bc = b, d (ad, bc) = d, (ad, bc) = alpha, $ ta có $ v = dfrac {1} {6} bắt cóc sin alpha. $

ví dụ 1. cho tứ diện $ abcd $ với $ ab = ac = bd = cd = 1. $ khi thể tích của tứ diện $ abcd $ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai dòng $ ad $ và $ bc $ bằng

a. $ frac {2} { sqrt {3}}. $

b. $ frac {1} { sqrt {3}}. $

c. $ frac {1} { sqrt {2}}. $

d. $ frac {1} {3}. $

>>Lời giải chi tiết:

ví dụ 2: cho hai hình cầu $ ({{s} _ {1}}), ({{s} _ {2}}) $ có cùng tâm $ i $ và bán kính $ {{tương ứng r} _ {1}} = 2, {{r} _ {2}} = sqrt {10}. $ Xét tứ diện $ abcd $ có hai đỉnh là $ a, b $ trên $ ({{s} _ {1}} ); $ hai đỉnh $ c, d $ trên $ ({{s} _ {2}}). $ thể tích của tứ diện $ abcd $ có giá trị lớn nhất bằng

a. $ 3 sqrt {2}. $

b. $ 2 sqrt {3}. $

c. $ 6 sqrt {3}. $

Xem Thêm : Xét nghiệm công thức máu là gì và ý nghĩa trong y học | Medlatec

d. $ 6 sqrt {2}. $

giải thưởng. gọi $ a, b $ lần lượt là khoảng cách từ tâm $ i $ đến hai dòng $ ab, cd. $

chúng ta có $ ab = 2 sqrt {r_ {1} ^ {2} – {{a} ^ {2}}} = 2 sqrt {4 – {{a} ^ {2}}}; cd = 2 sqrt {r_ {2} ^ {2} – {{b} ^ {2}}} = 2 sqrt {10 – {{b} ^ {2}}} $ và $ d (ab, cd) le d (i, ab) + d (i, cd) = a + b $ và $ sin (ab, cd) le 1. $

áp dụng công thức tính thể tích của khối tứ diện theo khoảng cách các đường chéo của các cặp cạnh đối diện mà chúng có:

$ begin {Collect} {v_ {abcd}} = frac {1} {6} ab.cd.d (ab, cd). sin (ab, cd) leqslant frac {2} { 3} (a + b) sqrt {4 – {a ^ 2}} sqrt {10 – {b ^ 2}} \ = frac {2} {3} left ({a sqrt {4 – {a ^ 2}} sqrt {10 – {b ^ 2}} + b sqrt {10 – {b ^ 2}} sqrt {4 – {a ^ 2}}} right) = frac {2 } {3} left ({ sqrt {4 {a ^ 2} – {a ^ 4}} sqrt {10 – {b ^ 2}} + sqrt { frac {{10 {b ^ 2} – {b ^ 4}}} {2}} sqrt {8 – 2 {a ^ 2}}} right) \ leqslant frac {2} {3} sqrt { left ({4 {a ^ ) 2} – {a ^ 4} + 8 – 2 {a ^ 2}} phải) left ({10 – {b ^ 2} + frac {{{10 {b ^ 2} – {b ^ 4 }}} {2}} right)} = frac {2} {3} sqrt { left ({- {{({a ^ 2} – 1)} ^ 2} + 9} right) left ({- frac {1} {2} {{({b ^ 2} – 4)} ^ 2} + 18} right)} leqslant frac {2} {3} sqrt {9.18} = 6 sqrt 2. \ end {đã thu thập} $

dấu bằng đạt được tại $ (a; b) = (1; 2). $ chọn câu trả lời d.

ví dụ 3: cho một hình trụ có thiết diện là hình vuông cạnh $ a. $ biết rằng $ ab $ và $ cd $ là đường kính tương ứng của hai đáy và góc giữa hai dòng $ ab $ và $ cd $ bằng $ 30 {} ^ circle. $ tính thể tích của tứ diện $ abcd. $

a. $ frac {{{a} ^ {3}}} {12}. $

b. $ frac {{{a} ^ {3}} sqrt {3}} {6}. $

c. $ frac {{{a} ^ {3}}} {6}. $

d. $ frac {{{a} ^ {3}} sqrt {3}} {12}. $

có $ h = 2r = a; {{v} _ {abcd}} = frac {1} {6} ab.cd.d (ab, cd). sin (ab, cd) = frac {1} {3} .2r.2r.h. Sin {{30} ^ {0}} = frac {{{a} ^ {3}}} {6}. $ Chọn câu trả lời c.

công thức 5: tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau

ví dụ 1: cho hình chóp $ s.abc $ có đáy $ abc $ là tam giác vuông cân tại $ a, ab = a, widehat {sba} = widehat {sca} = 90 {} ^ circle , $ góc giữa hai mặt phẳng $ (sab) $ và $ (sac) $ bằng $ 60 {} ^ hình tròn. $ thể tích của hình chóp đã cho bằng

a. $ {{a} ^ {3}}. $

b. $ frac {{{a} ^ {3}}} {3}. $

c. $ frac {{{a} ^ {3}}} {2}. $

d. $ frac {{{a} ^ {3}}} {6}. $

giải thích chi tiết. gọi $ h = mathbf {h / c (s, (abc))} $ và chúng tôi nhận được $ left { begin {collect} ab bot sb hfill \ ab bot sh hfill \ end {đã tập hợp} đúng. rightarrow ab bot (sbh) rightarrow ab bot bh; left { begin {rected} ac bot sc hfill \ ac bot sh hfill \ end {reted} right. rightarrow ac bot (sch) rightarrow ac bot ch. $ kết hợp với $ abc $ là một tam giác vuông cân tại $ a, ab = a $, do đó $ abhc $ là một hình vuông.

Đặt $h=SHRightarrow {{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=frac{{{a}^{2}}h}{6}(1).$

nếu không thì $ {{v} _ {s.abc}} = frac {2 {{s} _ {sab}}. {{s} _ {sac}}. sin left ((sab), (sac) right)} {3sa} ​​= frac {2 left ( frac {a sqrt {{{a} ^ {2}} + {{h} ^ {2}}}} {2} right) left ( frac {a sqrt {{{a} ^ {2}} + {{h} ^ {2}}}} {2} right) frac { sqrt {3}} {2 }} {3 sqrt {2 {{a} ^ {2}} + {{h} ^ {2}}}} (2). $

Xem thêm: QUY TRÌNH TẠO RA 1001 CÔNG THỨC NHUỘM TÓC ĐẸP, BỀN MÀU 

từ (1) và (2) suy ra $ h = a rightarrow v = frac {{{a} ^ {3}}} {6}. $ chọn câu trả lời d.

ví dụ 2: cho một tứ diện $ abcd $ có $ widehat {abc} = widehat {bcd} = widehat {cda} = {{90} ^ {0}}, bc = a, cd = 2a , cos left ((abc), (acd) right) = dfrac { sqrt {130}} {65}. $ thể tích của tứ diện $ abcd $ bằng

a. $ frac {{{a} ^ {3}}} {3}. $

b. $ {{a} ^ {3}}. $

c. $ frac {2 {{a} ^ {3}}} {3}. $

d. $ 3 {{a} ^ {3}}. $

giải thích chi tiết. call $ h = mathbf {h / c (a, (bcd))}. $ set $ ah = h rightarrow {{v} _ {abcd}} = frac {1} {3} {{s} _ {bcd}}. ah = frac {1} {3}. frac {1} {2} cb.cd.ah = frac {{{a} 2} h} {3} (1). $

chúng ta còn $ left { begin {collect} cb bot ba hfill \ cb bot ah hfill \ end {collect} right. rightarrow cb bot (abh) rightarrow cb bot hb. $ tương tự như $ left { begin {rected} cd bot da hfill \ cd bot ah hfill \ end {đã tái hợp} Đúng. rightarrow cd bot (adh) rightarrow cd bot hd. $

kết hợp với $ widehat {bcd} = {{90} ^ {0}} rightarrow hbcd $ thành một hình chữ nhật.

infers $ ab = sqrt {a {{h} ^ {2}} + h {{b} ^ {2}}} = sqrt {{{h} ^ {2}} + 4 {{a } ^ {2}}}, ad = sqrt {a {{h} ^ {2}} + h {{d} ^ {2}}} = sqrt {{{h} ^ {2}} + { {a} ^ {2}}}; ac = sqrt {a {{b} ^ {2}} + b {{c} ^ {2}}} = sqrt {{{h} ^ {2}} +5 {{a} ^ {2}}}. $

suy ra $ {{s} _ {abc}} = frac {1} {2} ab.bc = frac {a sqrt {{{h} ^ {2}} + 4 {{a} ^ {2}}}} {2}; {{s} _ {acd}} = frac {1} {2} ad.dc = a sqrt {{{h} ^ {2}} + {{a} 2}}}. $

suy ra $ {{v} _ {abcd}} = frac {2 {{s} _ {abc}}. {{s} _ {acd}}. sin left ((abc), (acd ) right)} {3ac} = frac {{{a} ^ {2}} sqrt {{{h} ^ {2}} + 4 {{a} ^ {2}}} sqrt {{{ h} ^ {2}} + {{a} ^ {2}}}} {3 căn bậc hai {{{h} ^ {2}} + 5 {{a} ^ {2}}}} căn bậc hai {1 – {{ left ( frac { sqrt {130}} {65} right)} ^ {2}}} (2). $

kết hợp (1), (2) suy ra: $ h = 3a rightarrow {{v} _ {abcd}} = {{a} ^ {3}}. $ chọn câu trả lời b.

ví dụ 3: cho hình chóp $ s.abcd $ có đáy là hình thoi cạnh $ a, widehat {abc} = {{120} ^ {0}}. $ side $ sa $ vuông góc với mặt đáy và góc giữa hai mặt phẳng $ (sbc), (scd) $ bằng $ {{60} ^ {0}}, $ nên $ sa $ bằng

a. $ dfrac { sqrt {6} a} {4}. $

b. $ sqrt {6} a. $

c. $ dfrac { sqrt {6} a} {2}. $

d. $ dfrac { sqrt {3} a} {2}. $

Xem Thêm : Cách làm nước ép hoa quả mát lạnh, giải khát cực đã | VinID

có $ sa = x & gt; 0 rightarrow {{v} _ {s.bcd}} = dfrac {1} {3} {{s} _ {bcd}}. sa = dfrac { sqrt { 3} x} {12} (1), left (a = 1 right). $

nếu không thì $ {{v} _ {s.bcd}} = dfrac {2 {{s} _ {sbc}}. {{s} _ {scd}}. sin left ((sbc), (scd) right)} {3sc} = dfrac {2 {{ left ( dfrac { sqrt {4 {{x} ^ {2}} + 3}} {4} right)} ^ {2 }} dfrac { sqrt {3}} {2}} {3 sqrt {{{x} ^ {2}} + 3}} (2). $

trong đó $ bc = 1, sb = sqrt {{{x} ^ {2}} + 1}, sc = sqrt {{{x} ^ {2}} + 3} rightarrow {{s} sbc}} = dfrac { sqrt {4 {{x} ^ {2}} + 3}} {4}; delta sbc = delta sdc (c-c-c) rightarrow {{s} _ {scd}} = dfrac { sqrt {4 {{x} ^ {2}} + 3}} {4}. $

Từ (1) và (2) suy ra [x = dfrac { sqrt {6}} {4}. ] chọn câu trả lời a.

ví dụ 4: cho một tứ diện $ abcd $ trong đó $ abc $ và $ Abd $ là các tam giác đều với các cạnh bằng $ a. $ thể tích của tứ diện $ abcd $ có giá trị lớn nhất là

a. $ dfrac {{{a} ^ {3}}} {8}. $

b. $ dfrac {{{a} ^ {3}} sqrt {2}} {12}. $

c. $ dfrac {{{a} ^ {3}} sqrt {3}} {8}. $

d. $ dfrac {{{a} ^ {3}} sqrt {3}} {12}. $

Xem thêm: Tổng hợp 13 cách làm bánh bằng bột mì ngon, đơn giản tại nhà

có $ {{v} _ {abcd}} = dfrac {2 {{s} _ {abc}} {{s} _ {Abd}} sin left ((abc), (Abd) right)} {3ab} = dfrac {2 left ( dfrac { sqrt {3} {{a} ^ {2}}} {4} right) left ( dfrac { sqrt {3} { {a} ^ {2}}} {4} right)} {3a} sin left ((abc), (Abd) right) le dfrac {2 left ( dfrac { sqrt {3 {{a} ^ {2}}} {4} right) left ( frac { sqrt {3} {{a} ^ {2}}} {4} right)} {3a} = dfrac {{{a} ^ {3}}} {8}. $

dấu bằng nằm trong $ (abc) bot (Abd). $ chọn câu trả lời a.

ví dụ 5: cho hình lăng trụ $ abc. {a} ‘{b}’ {c} ‘$ có diện tích tam giác $ {a}’ bc $ bằng $ 4 , $ khoảng cách gần đúng từ $ a $ đến $ bc $ là $ 3, $ góc giữa hai mặt phẳng $ left ({a} ‘bc right) $ và $ left ({a}’ {b} ‘{c}’ right) $ bằng $ 30 {} ^ khoanh. $ thể tích của khối lăng trụ $ abc. {a} ‘{b}’ {c} ‘$ bằng

a. $ 3 sqrt {3}. $ b. $ 6. $ c. $ 2. $ d. $ 12. $

giải thưởng. áp dụng công thức tính thể tích của khối tứ diện để tìm góc và diện tích của hai mặt

$ {{v} _ {abc. {a} ‘{b}’ {c} ‘}} = 3 {{v} _ {{a}’. abc}} = 3 left ( dfrac { 2 {{s} _ {{a} ‘bc}}. {{S} _ {abc}}. Sin left ( left ({a}’ bc right), left (abc right) right)} {3bc} right) $

$ = dfrac {{{s} _ {{a} ‘bc}}. d left (a, bc right) .bc. sin left ( left ({a}’ bc right ), left (abc right) right)} {bc} = {{s} _ {{a} ‘bc}}. d left (a, bc right). sin left ( left ( {a} ‘bc right), left (abc right) right) = 4.3. dfrac {1} {2} = 6. $ chọn câu trả lời b.

công thức 6: kéo dài đến hình chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy

kim tự tháp $ s. {{a} _ {1}} {{a} _ {2}} … {{a} _ {n}} $ có $ v = dfrac {2 {{s } _ {s {{a} _ {1}} {{a} _ {2}}}}. {{s} _ {{{a} _ {1}} {{a} _ {2}}. .. {{a} _ {n}}}}. sin left ((s {{a} _ {1}} {{a} _ {2}}), ({{a} _ {1} } {{a} _ {2}} … {{a} _ {n}}) right)} {3 {{a} _ {1}} {{a} _ {2}}}. $

công thức 7: tứ diện cho các góc ở cùng một đỉnh

kim tự tháp $ s.abc $ có $ sa = a, sb = b, sc = c, widehat {bsc} = alpha, widehat {csa} = beta, widehat {asa} = gamma . $

sau đó $ v = dfrac {abc} {6} sqrt {1 + 2 cos alpha cos beta cos gamma – {{ cos} ^ {2}} alpha – {{ bởi vì} ^ {2}} beta – {{ cos} ^ {2}} gamma}. $

ví dụ 1: tứ diện $ abcd $ có $ ab = 5, cd = sqrt {10}, ac = 2 sqrt {2}, bd = 3 sqrt {3}, ad = sqrt {22}, bc = sqrt {13} $ có âm lượng bằng

a. $ 20. $

b. $ 5 $

c. $ 15. $

d. $ 10 $

giải thưởng. tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh, ta tính các góc ở một đỉnh rồi áp dụng công thức tính thể tích của tứ diện dựa trên 3 góc bắt đầu từ cùng một đỉnh:

có $ left { begin {collect} hfill cos widehat {bad} = dfrac {a {{b} ^ {2}} + a {{d} ^ {2}} – b {{d} ^ {2}}} {2ab.ad} = sqrt { dfrac {2} {11}} \ hfill cos widehat {dac} = dfrac {a {{d} ^ { 2}} + a {{c} ^ {2}} – c {{d} ^ {2}}} {2ad.ac} = dfrac {5} {2 sqrt {11}} \ hfill bởi vì widehat {cab} = dfrac {a {{c} ^ {2}} + a {{b} ^ {2}} – b {{c} ^ {2}}} {2ac.ab} = dfrac {1} { sqrt {2}} \ end {collect} right .. $

rồi đến $ {{v} _ {abcd}} = dfrac {1} {6} .5.2 sqrt {2}. sqrt {22} sqrt {1 + 2 sqrt { dfrac {2} {11}} dfrac {5} {2 sqrt {11}} dfrac {1} { sqrt {2}} – {{ left ( sqrt { dfrac {2} {11}} right) } ^ {2}} – {{ left ( dfrac {5} {2 sqrt {11}} right)} ^ {2}} – {{ left ( dfrac {1} { sqrt {2 }} right)} ^ {2}}} = 5. $

chọn câu trả lời b.

& gt; & gt; xem bài giảng và đề thi tương ứng tại đây: https://www.vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021- mon- para-biet-cho -teens-2k3-12

& gt; & gt; xem thêm: công thức tổng quát về thể tích của một hình chóp đều

& gt; & gt; xem thêm tổng hợp các công thức thường dùng để tính nhanh số phức: bài giảng môn học pro x tại vted.vn

& gt; & gt; xem thêm [vted.vn] – công thức giải nhanh mặt phẳng tọa độ Oxy

& gt; & gt; xem thêm [vted.vn] – công thức giải nhanh tọa độ oxyz

& gt; & gt; xem thêm về phép cộng và số mũ

& gt; & gt; xem thêm các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ trong các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

& gt; & gt; tải xuống các công thức lượng giác để ghi nhớ

& gt; & gt; cuốn sách khám phá tư duy kỹ thuật để giải các bất đẳng thức của các bài toán min-max