Hình học 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Công thức phương trình mặt phẳng

Video Công thức phương trình mặt phẳng

a) biểu hiện phối hợp của sản phẩm được nhắm mục tiêu

cho hai vectơ ( vec {a} = (x_1; y_1; z_1) ) và ( vec {b} = (x_2; y_2; z_2) ), vectơ ( overrightarrow n = left [{ overrightarrow a; overrightarrow b} right] ) được gọi là tích có hướng của hai vectơ ( overrightarrow a ) và ( overrightarrow b ) được định nghĩa như sau:

( left [{ vec a, vec b} right] = left ({ left | { begin {array} {* {20} {c}} {{y_1} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} {z_1}} \ {{y_2} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} { z_2}} end {matrix}} right |; left | { begin {matrix} {* {20} {c}} {{z_1} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} {x_1}} \ {{z_2} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} {x_2}} end {array}} right | ; left | { begin {array} {* {20} {c}} {{x_1} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} {y_1}} \ {{x_2} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} ; { mkern 1mu} {y_2}} end {matrix}} right |} right) = ({y_1} {z_2} – {y_2} {z_1}; {z_1} {x_2} – {z_2} {x_1}; {x_1} {y_2} – {x_2} {y_1}) )

b) thuộc tính

vectơ ( overrightarrow n ) vuông góc với cả vectơ ( overrightarrow a ) và ( overrightarrow b. )

c) ứng dụng của sản phẩm được nhắm mục tiêu

  • kiểm tra tính đồng phẳng của vectơ:
    • ( vec {a}, vec {b}, vec {c} ) không phải là đồng phẳng nếu và chỉ khi ( left [ vec {a}, vec {b} right] vec {c} neq 0. ) suy ra rằng 4 điểm a, b, c, d không đồng phẳng nếu và chỉ khi ( left [ overrightarrow { ab}, overrightarrow {ac} right] overrightarrow {ad} neq 0 ).
    • ( vec {a}, vec {b}, vec {c} ) là đồng phẳng nếu và chỉ khi ( left [ vec {a}, vec {b} right] vec {c} = 0 ). suy ra rằng a, b, c, d là đồng phẳng nếu và chỉ khi ( left [ overrightarrow {ab}; overrightarrow {ac} right] overrightarrow {ad} = 0 ).
    • Diện tích hình bình hành abcd: (s_ {abcd} = left | left [ overrightarrow {ab}; overrightarrow {ac} right] right | ).
    • diện tích tam giác ( delta abc ): (s _ { delta abc} = frac {1} {2} left | left [ overrightarrow {ab}; overrightarrow {ac} right] right | ).

    a) vectơ pháp tuyến phẳng

    cho căn hộ (p). nếu vectơ ( vec n ) khác với ( vec 0 ) có giá trị vuông góc với (p) thì ( vec n ) được gọi là vectơ pháp tuyến của (p).

    b) phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: (Ax+By+Cz+D=0, ,, A^2+B^2+C^2neq 0)). Với (overrightarrow{n}=(A;B;C)) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).

    c) viết phương trình của một mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điểm trên mặt phẳng đó

    Xem thêm: Nhụy hoa nghệ tây có tác dụng gì cho sức khỏe? – Bác sĩ Lê Phương Tuấn

    mặt phẳng (p) đi qua điểm ({{m_0} ({x_0}; {y_0}; {z_0})} ), thu được vectơ ({ vec n = (a; b; c )} ) làm vtpt với phương trình tổng quát:

    Xem Thêm : Lightroom Cách Lấy Màu Lightroom Trên Điện Thoại Android, Cách Thêm Preset Trên Lightroom Mobile Android

    (a (x-x_0) + b (y-y_0) + c (z-z_0) = 0 )

    d) phương trình của mặt phẳng theo giao tuyến

    mặt phẳng (p) đi qua a (a, 0,0), b (0, b, 0), c (0,0, c) có phương trình tổng quát là: ( frac {x} {a } + frac {y} {b} + frac {z} {c} = 1 ).

    e) một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    • gọi ( vec n ) vtpt của mặt phẳng (p), giả sử sự tồn tại của ( vec u_1 ) và ( vec u_2 ) sao cho ( left. begin {matrix} vec {n} perp overrightarrow {u_1} \ vec {n} perp overrightarrow {u_2} end {matrix} right } ) rồi ( vec {n} = left [ overrightarrow {u_1}; overrightarrow {u_2} right] ) là vtpt của mặt phẳng (p).
    • mặt phẳng (abc) có vtpt ( vec {n)} = left [ overrightarrow {ab}; overrightarrow {ac} right] ).

    • mặt phẳng (p) song song với mặt phẳng (q):
      • được gọi là: ( overrightarrow {n} _p ) là vtpt của (p), ( overrightarrow { n} _q ) là vtpt của (q) nên: ( overrightarrow {n} _p = overrightarrow {n} _q. )

      • đối với đường thẳng ab và mặt phẳng (p): ( Big lbrack begin {matrix} ab subset (p) \ ab // (p) end {matrix} ) thì ( vec {n_p} perp overrightarrow {ab}. )
      • if ((p) perp (q) ) then ( overrightarrow {n} _p perp overrightarrow {n} _q ).

      Xem thêm: Công thức tính động năng và bài tập có lời giải dễ hiểu

      cho hai mặt phẳng (( alpha _1) a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 ) tồn tại một vtpt ( vec {n_1} = (a_1; b_1; c_1) ) và (( alpha _2) a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 ) có vtpt ( vec {n_2} = (a_2; b_2; c_2) ).

      thì vị trí tương đối giữa (( alpha_1) ) và (( alpha_2) ) được xác định như sau:

      • (( alpha _1) // ( alpha _2) ) nếu và chỉ khi ( left { begin {matrix} vec {n_1} = k. vec {n_2} \ d_1 neq d_2 end {array} right. ).

      if (a_2, b_2, c_2, d_2 neq 0 ): (( alpha _1) // ( alpha _2) leftrightarrow frac {a_1} {a_2} = frac {b_1} { b_2} = frac {c_1} {c_2} neq frac {d_1} {d_2} ).

      • (( alpha _1) equiv ( alpha _2) ) nếu và chỉ khi ( left { begin {matrix} vec {n_1} = k. vec {n_2} \ d_1 = k.d_2 end {array} right. ).

      Xem Thêm : Cấu trúc và cách dùng after trong tiếng anh

      if (a_2, b_2, c_2, d_2 neq 0 ) then (( alpha _1) equiv ( alpha _2) leftrightarrow frac {a_1} {a_2} = frac {b_1} { b_2} = frac {c_1} {c_2} = frac {d_1} {d_2} ).

      • (( alpha _1), ( alpha _2) ) cắt nhau nếu và chỉ khi ( vec {n_1} neq k. vec {n_2} ).

      if (a_2, b_2, c_2 neq 0 ) then (( alpha _1), ( alpha _2) ) giao nhau ( leftrightarrow expand lbrack begin {matrix} frac { a_1} {a_2} neq frac {b_1} {b_2} \ frac {a_1} {a_2} neq frac {c_1} {c_2} \ frac {b_1} {b_2} neq frac { c_1} {c_2} end {array} ).

      Xem thêm: CPI (Chỉ số giá tiêu dùng) là gì? Công thức tính CPI

      cho mặt phẳng (p): (ax + by + cz + d = 0 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 neq 0) ) và điểm (m (x_0, y_0), z_0) ). khoảng cách từ m đến (p) được xác định theo công thức: (d (m; (p)) = frac { left | ax_0 + ay_0 + az_0 + d right |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} ).

      cho hai mặt phẳng ((p) ; {a_1} x + {b_1} y + {c_1} z + {d_1} = 0 ) và ((q) ; {a_2} x + {b_2 } y + {c_2} z + {d_2} = 0 ) có vtpt tương ứng:

      ( vec {n} _p = (a_1; b_1; c_1) ) và ( vec {n} _q = (a_2; b_2; c_2) ), sau đó:

      (cos widehat {(p, q)} = left | {cos ({{ vec n} _p}; {{ vec n} _q})} right | = frac {{ left | {{{ vec n} _p}. {{ vec n} _q}} right |}} {{ left | {{{ vec n} _p}} right | left | {{ { vec n} _q}} right |}} ) (= frac { left | a_1b_2 + b_1b_2 + c_1c_2 right |} { sqrt {a ^ 2_1 + b_1 ^ 2 + c ^ 2_1}. sqrt {a ^ 2_2 + b_2 ^ 2 + c ^ 2_2}} )

      chú ý:

      • (0 ^ 0 leq ( widehat {p, q}) leq 90 ^ 0 ).
      • ((p) perp (q) leftrightarrow vec {n} _p. vec {n} _q ) ( leftrightarrow a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 ).

Nguồn: https://truongxaydunghcm.edu.vn
Danh mục: Công thức

Related Articles

Back to top button