Công Thức Modun Số Phức – Nắm Chắc Lý Thuyết, Bứt Phá Điểm Số

Để việc ôn tập hiệu quả, trước khi đi vào chi tiết, hãy cùng xem qua bảng tổng hợp mức độ khó và vùng kiến thức cần chú ý khi học về số phức modun:

Mức Độ	Vùng Kiến Thức
Cơ Bản	– Định nghĩa modun của số phức – Tính chất modun của số phức – Các bất đẳng thức modun cơ bản
Vận Dụng	– Chứng minh bất đẳng thức modun – Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến modun – Ứng dụng modun vào hình học phẳng
Nâng Cao	– Bất đẳng thức modun phức tạp – Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Để hỗ trợ bạn ôn tập dễ dàng hơn, VUIHOC có một file tổng hợp lý thuyết về modun và số phức modun vô cùng hữu ích. Tài liệu này cũng sẽ là “trợ thủ đắc lực” cho bạn trong quá trình ôn luyện cho kỳ thi đại học sắp tới.

👉 Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về số phức modun

1. Lý Thuyết Về Modun, Modun Của Số Phức

1.1. Modun Của Số Phức Là Gì?

Nói một cách dễ hiểu, modun của số phức $z=a+bi$ chính là độ dài của vectơ $u(a,b)$ biểu diễn số phức đó.

Theo một cách định nghĩa khác, modun của số phức $z=a+bi$ $(a,bin mathbb{R})$ là căn bậc hai số học (hay còn gọi là căn bậc hai không âm) của $a^2+b^2$.

Ví dụ: số phức $3+4i$ có $3^2+4^2=25$ nên modun của $3+4i$ bằng 5.

Ta cũng dễ dàng nhận thấy trị tuyệt đối của một số thực cũng chính là modun của số thực đó. Vì vậy, đôi khi modun của số phức còn được gọi là giá trị tuyệt đối của số phức.

Xét trên phương diện hình học, mỗi số phức $z=a+bi$ $(a,bin mathbb{R})$ được biểu diễn bởi một điểm $M(z)=(a;b)$ trên mặt phẳng $Oxy$ và ngược lại. Lúc này, modun của $z$ được biểu diễn bởi độ dài đoạn thẳng $OM(z)$.

Rõ ràng, modun của $z$ là một số thực không âm và nó chỉ bằng $0$ khi $z=0$.

1.2. Tính Chất Modun Của Số Phức

Dưới đây là một số tính chất của modun số phức đã được chứng minh:

• (i) Hai số phức đối nhau có mô đun bằng nhau: $|z|=|-z|$.
• (ii) Hai số phức liên hợp có mô đun bằng nhau: $|a+bi|=|a-bi|$.
• (iii) Mô đun của z bằng 0 khi và chỉ khi z=0.
• (iv) Tích của hai số phức liên hợp bằng bình phương mô đun của chúng.
• (v) Mô đun của một tích bằng tích các mô đun.
• (vi) Mô đun của một thương bằng thương các mô đun.

1.3. Bất Đẳng Thức Modun Của Số Phức

Bởi lẽ mô đun của số phức là độ dài đoạn thẳng trong mặt phẳng nên từ các bất đẳng thức tam giác, ta có thể suy ra được các bất đẳng thức số phức mô đun tương tự.

Cụ thể:

• Tổng hai cạnh trong một tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba:

Từ đó, ta có bất đẳng thức:

$|z_1 + z_2| ≤ |z_1| + |z_2|$

Dấu bằng xảy ra khi: $ dfrac{z_1}{z_2}$ là một số thực dương hoặc một trong hai số bằng 0.

Cũng từ bất đẳng thức tam giác nêu trên, ta có thể suy ra:

$ |z_1 + z_2| ≥ | |z_1| – |z_2| | $

Dấu bằng xảy ra khi: $ dfrac{z_1}{z_2}$ là một số thực âm hoặc một trong hai số bằng 0.

• Hiệu hai cạnh trong một tam giác luôn nhỏ hơn cạnh thứ ba:

Hoàn toàn tương tự, ta suy ra được các bất đẳng thức sau:

$ |z_1 – z_2| ≤ |z_1| + |z_2|$

$ |z_1 – z_2| ≥ | |z_1| – |z_2| | $

2. Phương Pháp Giải Bài Tập Tính Mô Đun Của Số Phức

2.1. Phương Pháp Tính Mô Đun Của Số Phức

Để giải các bài tập số phức modun, bạn cần nắm chắc công thức sau:

Với mọi z ∈ C, ta có:

2.2. Ví Dụ Minh Hoạ

Hãy cùng VUIHOC phân tích các ví dụ minh họa về bài tập số phức modun dưới đây để hiểu rõ hơn về cách làm cũng như cách áp dụng các công thức biến đổi modun của số phức nhé!

3. Bài Tập Luyện Tập Số Phức Modun

Thực hành các bài tập số phức modun là cách tốt nhất để bạn hiểu sâu về lý thuyết cũng như thành thạo khi gặp các bài tập liên quan trong các đề thi. VUIHOC đã tổng hợp các dạng bài tập số phức modun tại đây, bạn nhớ lưu về để luyện tập thêm nhé!

Bài viết đã tổng hợp tất cả lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp khi ôn tập về số phức modun. Chúc bạn luôn giữ vững tinh thần học tập và đạt kết quả cao!

---

Nguồn: https://truongxaydunghcm.edu.vn/