Tính Giới Hạn Hàm Số Toán 11: Phương Pháp & Bài Tập Hay Nhất

Giới hạn hàm số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, là nền tảng cho nhiều khái niệm khác như đạo hàm, tích phân. Trong chương trình Toán lớp 11, việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức chi tiết nhất về giới hạn hàm số, cùng với các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

I. Lý Thuyết Chung Về Giới Hạn Hàm Số

1. Khái niệm giới hạn hàm số

Giới hạn hàm số là giá trị mà hàm số “tiến đến” khi biến số “tiến đến” một giá trị cho trước.

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) hoặc (a; +∞) và x0 là điểm hoặc +∞ .

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) bất kỳ, xn ≠ x0 và xn → x0 ta đều có f(xn) → L.

Kí hiệu:

lim f(x) = L 
x->x0

Hoặc f(x) → L khi x → x0.

2. Các dạng giới hạn hàm số thường gặp

• Dạng 0/0: Khi thay trực tiếp giá trị x0 vào hàm số thì cả tử số và mẫu số đều bằng 0.
• Dạng ∞/∞: Khi thay trực tiếp giá trị x0 vào hàm số thì cả tử số và mẫu số đều tiến đến vô cùng.
• Dạng ∞ – ∞: Khi thay trực tiếp giá trị x0 vào hàm số thì có dạng hiệu của hai đại lượng cùng tiến đến vô cùng.
• Dạng 1^∞: Khi thay trực tiếp giá trị x0 vào hàm số thì có dạng 1 lũy thừa một đại lượng tiến đến vô cùng.
• Dạng 0^0: Khi thay trực tiếp giá trị x0 vào hàm số thì có dạng 0 lũy thừa một đại lượng tiến đến 0.

3. Các định lý về giới hạn hàm số

• Định lý 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó (nếu các giới hạn này tồn tại và có nghĩa).
• Định lý 2: Giới hạn của hàm số đa thức bằng giá trị của hàm số đó tại điểm mà biến số tiến đến.
• Định lý 3: Giới hạn của hàm số hữu tỉ (phân thức) bằng giới hạn của tử số chia cho giới hạn của mẫu số (nếu giới hạn của mẫu số khác 0).

II. Phương Pháp Tính Giới Hạn Hàm Số

1. Phương pháp thay thế trực tiếp

Đây là phương pháp đơn giản nhất, ta thay trực tiếp giá trị x0 vào biểu thức hàm số. Nếu kết quả là một số xác định thì đó chính là giới hạn cần tìm.

Ví dụ:

lim (x^2 + 2x + 1) = 4
x->1

2. Phương pháp phân tích thành nhân tử

Phương pháp này thường được sử dụng khi gặp dạng giới hạn 0/0. Ta phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử chung.

Ví dụ:

lim (x^2 - 1)/(x - 1) 
x->1

= lim (x - 1)(x + 1)/(x - 1) 
x->1

= lim (x + 1) = 2
x->1

3. Phương pháp nhân liên hợp

Phương pháp này thường được sử dụng khi gặp dạng giới hạn chứa căn thức.

Ví dụ:

lim (√(x + 1) - 1)/(x)
x->0

= lim [(√(x + 1) - 1)(√(x + 1) + 1)]/[x(√(x + 1) + 1)]
x->0

= lim (x + 1 - 1)/[x(√(x + 1) + 1)]
x->0

= lim 1/(√(x + 1) + 1) = 1/2
x->0

4. Phương pháp sử dụng định lý kẹp

Phương pháp này thường được sử dụng khi gặp dạng giới hạn phức tạp, khó có thể tính toán trực tiếp.

Ví dụ:

Chứng minh rằng:

lim (sin x)/x = 1
x->0

Chứng minh:

Ta có:

-1 ≤ sin x ≤ 1

=> -1/|x| ≤ (sin x)/|x| ≤ 1/|x| với mọi x ≠ 0

Mà lim (-1/|x|) = lim (1/|x|) = 0 khi x → 0

Theo định lý kẹp, ta có:

lim (sin x)/x = 1
x->0

III. Bài Tập Vận Dụng

Dạng 1: Tính giới hạn hàm số dạng 0/0

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim (x^3 – 8)/(x – 2) khi x → 2

b) lim (x^2 – 5x + 6)/(x^2 – 4x + 3) khi x → 3

c) lim (√(x + 3) – 2)/(x – 1) khi x → 1

Lời giải:

a)

lim (x^3 - 8)/(x - 2) 
x->2

= lim (x - 2)(x^2 + 2x + 4)/(x - 2)
x->2

= lim (x^2 + 2x + 4) = 12
x->2

b)

lim (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 4x + 3) 
x->3

= lim (x - 2)(x - 3)/(x - 1)(x - 3) 
x->3

= lim (x - 2)/(x - 1) = 1/2
x->3 

c)

lim (√(x + 3) - 2)/(x - 1) 
x->1

= lim [(√(x + 3) - 2)(√(x + 3) + 2)]/[(x - 1)(√(x + 3) + 2)] 
x->1

= lim (x + 3 - 4)/[(x - 1)(√(x + 3) + 2)]
x->1

= lim 1/(√(x + 3) + 2) = 1/4
x->1

Dạng 2: Tính giới hạn hàm số dạng ∞/∞

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:

a) lim (3x^2 – 2x + 1)/(2x^2 + 5x – 3) khi x → ∞

b) lim (√(9x^2 + 1) – 3x) khi x → ∞

Lời giải:

a)

lim (3x^2 - 2x + 1)/(2x^2 + 5x - 3) 
x->∞

= lim (3 - 2/x + 1/x^2)/(2 + 5/x - 3/x^2)
x->∞

= 3/2

b)

lim (√(9x^2 + 1) - 3x) 
x->∞

= lim [(√(9x^2 + 1) - 3x)(√(9x^2 + 1) + 3x)]/(√(9x^2 + 1) + 3x) 
x->∞

= lim (9x^2 + 1 - 9x^2)/(√(9x^2 + 1) + 3x)
x->∞

= lim 1/(√(9x^2 + 1) + 3x) = 0
x->∞

IV. Kết Luận

Bài viết đã cung cấp những kiến thức cơ bản và trọng tâm nhất về giới hạn hàm số, cùng với các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết. Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức này và vận dụng giải bài tập một cách hiệu quả.

Chuyên gia Toán học – Nguyễn Hồng Thảo

Nguồn: https://truongxaydunghcm.edu.vn/